스프링 기반 2차원 HSLDS 베어링으로 지지되는 회전계의 선회

2.1 HSLDS 베어링 모델링

Fig. 1은 2차원 HSLDS 베어링을 포함한 회전계의 개략도로서 각 HSLDS 베어링은 강성 k와 자유 길이 L₀가 동일한 4개의 압축 스프링으로 구성되며 회전 축 및 원판의 자중에 의한 정적 하중 W가 작용한다. Fig. 2(a)에 나타낸 바와 같이 각 스프링은 압축된 상태로 W와 정적 평형을 이루게 되며 동적 하중 F_D가 작용하면 Fig. 2(b)와 같이 스프링이 변형하면서 동적 평형 상태가 된다. 이때 스프링 i에 발생하는 힘 f_i를 무차원화해서 나타내면 아래와 같다.

Fig. 1

HSLDS bearings for a rotating system

Fig. 2

Spring specifications of the HSLDS bearing

여기서,

식 (2)에서 θ_i는 스프링 i의 방향을 x축으로부터 반시계 방향으로 정의한 것이다. 최종적으로 2차원 HSLDS의 스프링 힘을 식 (1)로부터 아래와 같이 무차원 형태로 나타낼 수 있다.

또한 식 (1), (3)으로부터 시스템 강성을 구하면 다음과 같다.

여기서,

식 (5)에서 L_inx및 L_iny은 $$ {\overrightarrow{L}}_{in}$$의 x 및 y 성분이다.

2.2 HSLDS 베어링 설계

앞 절의 식 (3)으로부터 (x_n, y_n) = (0,0)에서의 정적 평형 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 w == W/kL₀인 무차원 정하중이다. 식 (6)으로부터 본 연구의 HSLDS 베어링의 정적 고강성은 스프링 압축 길이 $$ {\gamma }_i^{\prime }s$$에 의해 결정된다. 즉,

반면 식 (5)의 동적 강성 K_x 및 K_y는 작업 영역 R 내에서 동적 변위 (x_n, y_n)에 따라 비선형적으로 변하는데 R이 주어지면 정적 강성과 같이 스프링 압축 길이에 의해 값이 결정된다. 본 연구의 HSLDS 베어링은 안정성 확보를 위해 작업 영역 내에서 항상 K_x와 K_y가 0보다 커야 하고 동적 저강성 구현을 위해 (x_n, y_n) = (0,0)에서 K_x와 K_y가 최소가 되어야 한다. Fig. 3은 γ_H, γ₄ 및 w의 4가지 조합에 대한 불안정 영역을 도시한 것이고 Fig. 4는 2가지 조합에 대해 작업 영역 내에서 K_x와 K_y의 변화를 나타낸 것으로 영역의 크기는 L₀로 무차원화하여 나타냈다.

Fig. 3

Dynamic stability vs. spring parameters

Fig. 4

Stiffness variations within the workspace

Fig. 3(a)에서 γ_H = 0.5는 1차원 QZS에 해당하는 조건으로 널리 알려져 있으며^[1] Fig. 4(a-3)에 나타난 바와 같이 수직 방향에 대해서는 y_n = 0에서 K_y = 0이고 –0.2 < y_n < 0.2인 범위에서 K_y > 0인 QZS가 되지만 수평 방향으로는 Fig. 4(a-1)에서 x_n = 0을 제외한 모든 영역에서 K_y < 0이 되어 불안정하므로 2차원 HSLDS로는 부적합하다. 반면에 γ_H를 증가시키면 동적 강성은 커지지만 불안정 영역이 급격하게 감소하면서 2차원 HSLDS 조건이 충족되는 것을 Fig. 3(c)와 Fig. 4(b)로부터 확인할 수 있다. 또한 정적 하중 w가 동적 성능에 미치는 영향은 별로 없음을 Fig. 3(c)와 3(d)의 비교를 통해서 알 수 있다.

이상의 고찰로부터 본 연구에서 2차원 HSLDS 베어링의 스프링 합성은 다음과 같은 최적화 문제로 요약할 수 있다.

3.1 선회 방정식 유도

Fig. 5(a)는 본 연구에서 대상으로 하는 회전계를 나타낸 것으로 회전축의 중앙에 고정된 원판이 축과 같이 회전하며 HSLDS 베어링이 회전 축의 양 끝단에서 지지하고 있는 구조이다. 회전축의 굽힘 강성을 k_S, 감쇠 상수를 c_S라 하고 한쪽 끝단의 HSLDS 베어링의 동적 강성을 k_x, k_y라 정의하면 Fig. 5(b)와 같이 x 및 y 방향에 대한 2자유도계 모델로 단순화 시킬 수 있다. 여기서 선회 시스템의 등가 강성 $$ k_{EQ}^x$$, $$ k_{EQ}^y$$는 회전축과 HSLDS 베어링이 직렬 연결된 것이고 k_x, k_y가 k_S에 비해 매우 작다고 하면 $$ k_{EQ}^x\approx 2k_x$$, $$ k_{EQ}^y\approx 2k_y$$로 축의 강성은 무시할 수 있다.

Fig. 5

Whirling of a rotating disk with HSLDS bearings

또한 등가 감쇠상수 c_EQ는 베어링 감쇠를 무시할 수 있다는 가정 하에 회전축의 감쇠 c_S와 같으며 등가 질량 m_EQ는 원판과 회전축의 등가 질량의 합인 m_D + 0.486m_S와 같다.

회전축의 속도가 ω이고 질량 편심 e가 존재할 때 원판의 무차원 변위 (x_n, y_n)에 대한 선회 방정식은 다음과 같다.

여기서,

식 (10)에서 k₃와 α₃는 x 및 y가 작다는 가정하에 식 (3)으로 주어지는 HSLDS 베어링 힘의 비선형 3차항에 해당한다.

3.2 HSLDS 베어링이 회전계 선회 응답에 미치는 영향

Table 1은 Fig. 5의 회전계에서 HSLDS 베어링을 포함한 시스템 파라미터들을 정리한 것으로서 HSLDS 베어링은 식 (8)의 최적화 과정으로부터 도출된 것이다. Fig. 6은 그 결과를 도시한 것인데 K_LDX, K_LDY는 베어링의 동적 강성을 회전축 강성 k_S로 무차원화한 값으로서 작업 영역 내에서 7%를 넘지 않는다. 따라서 회전축 강성이 선회 응답에 영향을 주지 않을 정도로 HSLDS 베어링의 강성이 충분히 낮은 조건임을 확인할 수 있다.

Table 1

System parameters of a rotating system

Fig. 6

HSLDS bearing stiffness within the workspace

Fig. 7은 선회 응답을 주파수 응답 함수(frequency response function: FRF)와 평면 궤적으로 나타낸 것으로 회전축 양단이 HSLDS 베어링으로 지지된 경우와 양단이 고정된 상태로 단순지지된 경우에 대해 비교하였으며 모든 응답은 편심 반경 e에 대해 무차원화시켜 도시하였다. Fig. 7(a)의 FRF에서 HSLDS 베어링으로 지지된 회전계는 피크가 발생하는 공진주파수가 수직 및 수평 방향으로 2.9 Hz와 3.4 Hz로 양단 고정된 경우의 14.4 Hz에 비해 20~25% 수준으로 낮음을 알 수 있으며 이는 HSLDS 베어링의 동적 강성이 매우 낮기 때문이다. 또한 피크 값도 강성 저감에 따라 큰 폭으로 줄어드는 것을 확인할 수 있으며 계의 강성이 줄어들면 동일한 감쇠에 대해서도 HSLDS 베어링의 경우 감쇠비가 커지는 효과가 있어^[10] 피크 주변에서의 응답이 추가적으로 줄어들게 된다.

Fig. 7

Whirling responses

HSLDS 베어링 지지계의 경우 수평과 수직 방향의 강성이 차이가 존재하므로 FRF 상에서 2개의 피크가 나타나며 강성이 더 낮은 수직 방향의 피크 값이 수평 방향보다 작아지며 이는 Fig. 7(b)의 궤적에서도 수직 방향의 공진 주파수에 해당하는 응답의 타원 반경이 수평 방향 응답의 타원 반경에 비해 작다.

4.1 장치 구성

Fig. 8은 본 연구의 HSLDS 베어링이 회전계의 선회 응답에 미치는 영향을 검증하기 실험 장치를 나타낸 것이다. 실험 장치는 앞 절의 Table 1로 정의된 회전계에 HSLDS 베어링을 회전축에 부착하기 위한 베어링 지그와 구동 모터로 구성하였다. 또한 회전축의 수평 및 수직 방향의 변위 측정을 위한 센서와 베어링 지그 및 원판의 응답 측정을 위한 가속도계를 부착하였다. HSLDS 베어링의 성능 검증을 위해서는 원판 변위를 측정하는 것이 가장 바람직하지만 공진에 의한 과도한 응답이 발생할 경우 변위 센서의 측정 범위 1 mm를 초과할 우려가 있어 베어링 #2 부근에서의 축 변위를 측정하였다. 이 경우에도 회전축과 변위 센서의 충돌을 방지하기 위해 원판 부근에 안전 지그를 설치하여 원판의 변위가 1 mm를 초과할 수 없도록 하였으며 안전 지그에 가속도계를 부착하여 회전축과 지그의 충돌에 의한 가속도를 측정함으로써 원판 변위가 1 mm를 초과했는지 여부를 판별하였다.

Fig. 8

Experimental setup for validating HSLDS bearings

베어링 지그는 Fig. 8(c)에 보이는 바와 같이 HSLDS 스프링의 길이 변화를 제한할 경우 회전축의 양단이 고정된 단순지지 경계 조건이 되고 Fig. 8(d)와 같이 스프링 길이 변화가 가능하도록 고정을 풀면 HSLDS 베어링이 구현되도록 하였다. 각 베어링 지그 당 0.53 kg의 질량이 추가되고 구동부 커플링 질량과 구동 모터에 의한 경계 조건의 변화로 인하여 HSLDS 베어링의 정적 하중이 Table 1의 값으로부터 변화하였으며 그에 따라 HSLDS 스프링의 γ_H, γ₂ 및 γ₄ 값을 Table 2와 같이 조정하였다.

Table 2

HSLDS bearing parameters of the test rig

검증 실험은 구동 모터를 100 rpm부터 3000 rpm까지 100 rpm 간격으로 증가시키면서 정상 상태에서의 응답을 측정하였으며 고정 베어링인 경우와 HSLDS 베어링인 경우에 대해 각각 수행하여 결과를 구하고 비교 분석하였다.

4.2 수치해석에 의한 모드 특성

앞 절에서 언급한 바와 같이 Fig. 8의 회전계는 구동부 및 베어링 지그 등의 추가로 Fig. 5의 회전계와는 동특성이 다르다. 따라서 실험 결과의 분석에 앞서 실험 장치에 대한 유한요소 해석을 수행하여 가진주파수 범위 내의 모드를 도출하였다. Fig. 9(a)는 고정 베어링 조건에서의 1차 모드이고 Fig. 9(b)는 HSLDS 베어링 조건에서의 1차 모드이다. 고정 베어링인 경우 변위 측정 지점과 원판 지점에서의 회전축 거동의 위상이 같으며 원판에서의 응답이 측정 지점보다 10배 정도 큰 반면에 Fig. 9(b)의 HSLDS 베어링의 경우 원판에서의 거동과 측정 지점의 거동은 수직 방향에 대해 반대 위상으로 나타나며 원판 응답이 측정 지점의 응답보다 1.5배 정도 크고 자이로 현상으로 원판의 횡방향 회전이 나타난다.

Fig. 9

Modal characteristics of the test rig (1st mode)

4.3 선회 응답 분석

Fig. 10(a), (b)는 가진 실험을 수행하면서 변위 센서로부터 측정한 선회 응답을 가진주파수에 따라 도시한 것으로 HSLDS 베어링 경우와 고정 베어링 경우를 비교하여 나타냈는데 두 경우 모두 1차 공진 대역에서 피크 응답이 발생하는 것을 확인할 수 있다. Fig. 9의 수치해석에 의한 공진 대역과 비교했을 때 HSLDS 베어링은 14 Hz 부근에서 발생하므로 거의 일치하는 결과를 보이는 반면에 고정 베어링의 경우는 수치 해석 결과와 5 Hz 정도의 차이가 발생한다. 이는 Fig. 8(c)의 베어링 지그가 수치 해석에서의 이상적인 고정 조건을 구현하지 못했기 때문으로 추정할 수 있다. 또한 Fig. 7의 결과와 비교하여 1차 공진 대역의 큰 차이를 보이는데 이는 시스템 질량과 경계 조건의 변화에 기인한다. 모터 구동부와 센서 및 베어링 지지부의 추가로 시스템 질량은 증가했지만 구동 모터 및 커플링에 의한 회전축 횡방향의 구속 조건 강화 효과로 인하여 시스템의 1차 고유진동수는 고정 조건과 HSLDS 조건 모두에서 Fig. 7에 비해 크게 증가하였다.

Fig. 10

Measured frequency response functions

한편 Fig. 10(b)에서 가진주파수가 27 Hz 부근에 도달하면 수직 방향의 선회 응답이 공진 대역과 유사한 피크를 나타내는 것을 확인할 수 있는데 Fig. 10(a)에서는 이러한 피크가 발생하지 않는다. 그 원인을 분석하기 위해 Fig. 10(c)에 도시한 HSLDS 베어링 지그의 가속도 측정 결과를 보면 27 Hz 부근에서 피크가 발생한다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 베어링 지그의 굽힘 모드에 의한 공진이 발생하여 Fig. 10(b)에 나타낸 바와 같이 축방향으로 진동하면 회전 축의 수직 방향으로 진동이 전달되며 그 결과로 응답 피크가 나타난다는 것을 추론할 수 있다. 반면에 베어링 지그의 축방향 진동이 회전 축의 수평 방향의 진동을 야기하지는 않기 때문에 Fig. 10(a)에서는 동일 주파수 대역에서 피크가 발생하지 않는다.

Fig. 11은 HSLDS 베어링 조건에서 응답 궤적의 측정 결과와 수치해석에 의한 결과를 비교 도시한 것으로 Fig. 11(a)는 회전 축의 1차 공진에 의한 응답 궤적이고 Fig. 11(b)는 베어링 지그의 공진으로 인한 영향이 반영된 궤적이다. 앞에서도 언급한 바와 같이 HSLDS 베어링 조건에서의 1차 공진 대역은 실험 결과와 수치 해석 결과가 잘 일치하였으므로 응답의 궤적도 잘 일치한다. 반면에 베어링 지그의 공진에 의한 선회 궤적은 측정 결과와 수치 해석 결과에 큰 차이가 존재하는데 수치 해석에서는 베어링 지그의 질량 효과만을 고려하였기 때문에 지그의 공진 현상을 예측하지 못한데 기인한다.

Fig. 11

Comparison of whirling responses (HSLDS bearing)

마지막으로 본 연구의 HSLDS 베어링의 성능을 가장 잘 나타낼 수 있는 원판 지점에서의 1차 공진 응답을 측정 결과와 수치 모드 해석 결과로부터 다음과 같이 추정할 수 있다. 우선 Fig. 10(a), (b)의 1차 공진 대역에서 응답 피크를 비교해 보면 HSLDS 베어링과 고정 베어링 사이가 크기 차이가 거의 없으며 HSLDS 베어링이 선회 응답에 미치는 영향을 확인할 수 있다. 하지만 이는 변위 센서의 측정 위치 선정에 의한 결과이며 Fig. 9에 도시한 바와 같이 HSLDS 베어링인 경우 센서 위치와 원판 위치에서의 응답 크기가 1.5배 정도 차이가 나는 반면 고정 베어링에서는 거의 10배 가량 응답의 진폭이 나타난다. 따라서 Fig. 11(a)의 측정 결과로부터 원판 지점에서 1차 공진에 의한 선회 응답을 추정하면 Fig. 12(a)와 같다. 이러한 추정 결과는 원판 부근의 안전 지그에 부착한 가속도계의 측정 결과와도 일치하는데 Fig. 12(b)를 보면 고정 베어링의 경우 1차 공진 대역에서 회전 축과 지그 사이에 충돌이 발생하여 지그의 가속도가 급격하게 증가하는 것을 알 수 있다. 즉 고정 베어링의 선회 응답의 안전 지그의 허용 범위인 1 mm를 초과했음을 의미하며 Fig. 12(a)에 의하면 3 mm 이상의 응답이 발생하는 것으로 추정할 수 있다. 반면에 HSLDS 베어링의 경우는 공진 대역에서도 가속도가 발생하지 않으며 선회 응답이 1 mm 범위를 넘지 않아 충돌이 발생하지 않는다는 것을 의미하며 이는 Fig. 12(a)의 추정 궤적과 일치한다. 이러한 추정 결과로부터 본 연구의 HSLDS 베어링이회전계의 선회 응답에 미치는 영향을 고정 베어링과 비교하여 보면 70% 이상의 저감 효과가 있음을 확인할 수 있으며 이는 3절의 이론 해석의 결과와도 거의 일치한다.

Fig. 12

Estimation of the whirling response around the disk