내륜 분할/외륜 분할 3점접촉 볼베어링의 특성 비교 연구

1. 서 론

내륜 분할/외륜 분할 3점접촉 볼베어링(split-inner-ring/split-outer-ring three-point contact ball bearing, SI/SO-TCBB)은 깊은홈 볼베어링과 형태는 유사하나 Fig. 1과 같이 실린더형인 내/외륜 중심을 분할하여 세 점에서 접촉이 가능하도록 제작된 베어링이다^[1]. 이 같은 구조적 특성으로 인하여 SI/SO-TCBB는 양쪽에서 작용하는 축하중과 일부 경하중을 동시에 지지할 수 있어 복열 각접촉 볼베어링을 대체하여 사용할 수 있으며 장비 내부 공간 및 비용절감에 큰 장점을 가진다^[1]. 특히 좁은 공간에 설치되는 경우 내륜 또는 외륜이 두 부분으로 분리된 특성을 이용하여 편리하게 조립할 수 있다^[2].

Fig. 1

Global and local coordinate system of SI/SO-TCBB

SO-TCBB는 외륜의 두 접촉점에서 고속 회전 시 발생하는 큰 원심력을 효과적으로 분산하여 지지할 수 있다. SI/SO-TCBB는 이 같은 장점을 활용할 수 있는 내연기관, 가스터빈 엔진, 항공기, 압축기 등 고속 장비에 널리 사용된다^[1].

실용적인 가치에도 불구하고 SI/SO-TCBB에 관한 연구는 많지 않았다. Heo 등^[3]은 3점접촉 스러스트 볼베어링의 조립 과정에 대한 새로운 방법을 제안하였다. Weck과 Spachtholz^[4]는 스핀들 시스템의 가공 효율성과 회전 속도를 높이기 위해 3점접촉 및, 4점접촉 볼베어링을 적용한 실험결과를 제시하였다. Bamberger 등^[5]은 SI-TCBB를 적용하여 스핀들 시스템의 내구성 실험결과를 제시하였다. Pinel과 Zaretsky^[6]는 SI-TCBB의 회전속도, 접촉각 및 하중조건을 변화시키면서 상용화된 베어링 해석 프로그램과 최대 접촉응력 및 피로수명 결과를 비교하였다. Hamrock과 Anderson^[7]은 원심력을 고려한 SO-TCBB의 준정적 모델을 제시하였다. 또한 외륜 아치길이가 SO-TCBB의 피로수명에 미치는 영향을 조사하였다. 이 논문을 통해, 깊은홈 볼베어링 보다 고속 회전에서 SO-TCBB의 피로수명과 하중 지지능력이 향상됨을 확인하였다.

Hamrock 등^[8]은 앞선 연구를 바탕으로 SO-TCBB의 볼 운동과 미끄럼 마찰 모델을 제안하였다. 이들은 외륜 아치길이를 가지는 베어링에 대해서는 외륜 접촉점에서 상당한 크기의 스피닝(spinning)이 발생하는 것을 확인하였다. Coe와 Hamrock^[9]은 75-mm의 보어 직경을 갖는 SO-TCBB의 특성을 깊은홈 볼베어링과 비교하였다. 이 연구를 통해, SO-TCBB의 외륜 온도와 구동 토크가 깊은홈 볼베어링 보다 높게 나타나는 것을 확인하였다. Signer^[10]은 SI-TCBB의 윤활 방식에 대한 문제점을 제시하고 이를 개선할 수 있는 윤활 방법을 제안하였다. Cao 등^[11]은 SI-TCBB의 준정적 모델을 제시하였다. 이 모델은 윤활 및 케이지 효과를 고려하였으며 내부형상 변화에 따른 접촉점 변화 양상을 분석하였다. Ma 등^[12]은 4점 접촉 볼베어링(X-ACBB)의 동적 특성을 고려한 비선형 모델을 제안하고 3점접촉 상태가 고속 및 경하중 조건에서 베어링 성능을 크게 향상시키는 것을 확인하였다. Sa 등^[13,14]은 원심력, 자이로스코픽 모멘트 효과를 고려한 SO-TCBB의 준정적 모델을 제시하고 그 특성을 확인하였으며 고속 회전하는 경우 접촉점의 변화로 나타날 수 있는 접촉면 절단현상(TCA)에 대해 조사하였다. Rivera 등^[15]은 4점접촉 볼베어링의 준정적 모델을 기반으로 SI/SO-TCBB의 피로수명을 조사하였다. 이상 언급한 바와 같이 SI-TCBB와 SO-TCBB에 대한 개별적 연구 결과를 찾아볼 수는 있으나 실용적 관점에서 SI-TCBB와 SO-TCBB의 차이점을 비교 검토한 연구는 확인되지 않고 있다.

본 연구에서는 SI/SO-TCBB 해석을 위한 수치적 모델을 구성하여 이 두가지 형태의 베어링에 대한 하중 특성과 TCA, 피로수명 계산 결과를 비교 분석하였다. 본 연구는 SI/SO-TCBB를 비교 평가하여 그 특성을 파악함으로써 유리한 사용조건에 관한 정보를 제시하는 것을 목표로 한다. 본 연구의 결과는 SI/SO-TCBB를 설계 및 제조 또는 운전조건을 결정할 때 유용하게 활용될 것으로 기대된다.

2. 내/외륜 분할 3점접촉 볼베어링의 준정적 모델

여기서는 내륜이 회전하고 외륜이 정지된 상태의 SI/SO-TCBB에 대한 준정적(quasi-static) 모델을 간략하게 소개한다. 이 모델에서는 외부 하중에 의해 내륜 중심이 변위를 갖게 되며 외륜 중심은 고정된다고 가정한다^[16].

2.2 SI/SO-TCBB의 지배방정식

Fig. 2(a)는 SI/SO-TCBB의 5자유도 하중 및 변위 성분을 전역 좌표계로 나타낸다. 하중 및 변위 벡터 {F}, {δ}는 식 (2), (3)과 같이 나타낼 수 있다^[16].

Fig. 2

Global and local coordinate system of SI/SO-TCBB

$\[ {\left\{F\right\}}^T=\left\{\begin{array}{c}{F}_x\hspace{0.25em}{F}_y\hspace{0.25em}{F}_z\hspace{0.25em}{M}_x\hspace{0.25em}{M}_y\end{array}\right\} \]$

(2)

$\[ {\left\{\delta \right\}}^T=\left\{\begin{array}{c}{\delta }_x\hspace{0.25em}{\delta }_y\hspace{0.25em}{\delta }_z\hspace{0.25em}{\gamma }_x\hspace{0.25em}{\gamma }_y\end{array}\right\} \]$

(3)

Fig. 2(b)는 SI-TCBB의 내륜 단면에서 내륜 곡률중심의 지역 좌표계를 나타낸다. 내륜 곡률 중심의 변위, 볼의 변위 그리고 접촉하중는 식 (4)-(6)과 같이 표현된다^[16].

$\[ {\left\{u\right\}}^T=\left\{u_r\hspace{0.25em}{u}_z\hspace{0.25em}\theta \right\}=\left[R\varphi \right]\left\{\delta \right\} \]$

(4)

$\[ {\left\{v\right\}}^T=\left\{v_r\hspace{0.25em}{v}_z\hspace{0.25em}\phi \right\} \]$

(5)

$\[ {\left\{\mathrm{Q}\right\}}^T=\left\{{\mathrm{Q}}_r\hspace{0.25em}{Q}_{\mathrm{z}}\hspace{0.25em}T\right\} \]$

(6)

여기서 [Rϕ]는 전역 좌표계와 지역 좌표계 사이를 변환하는 행렬이다^[16]. 또, r_p, z_p는 내륜 곡률 중심의 좌표를 나타낸다. ϕ는 볼의 위치마다의 각도를 나타내며 식 (7)과 같이 계산할 수 있다.

$\[ {\varphi }_j=\frac{2\pi \left(j-1\right)}{Z}\left(j=\mathrm{1,2},\cdots ,Z\right) \]$

(7)

여기서 j는 볼의 번호, Z는 볼의 전체 개수를 나타낸다. 외부 하중이 가해질 때 SI/SO-TCBB 내/외륜 곡률 중심과 볼 중심의 변위는 Fig. 3과 같다. 접촉각 및 볼중심과 내/외륜 곡률 중심의 거리는 참고자료를 통해 계산할 수 있다^[13,14].

Fig. 3

Initial and displaced positions of groove curvature centers and ball centers(top ball)

볼과 내/외륜 접촉하중은 Hertzian 접촉 이론을 바탕으로 다음과 같이 계산할 수 있다^[1].

$\[ Q_{k,m}=c_k{\delta }_{k,m}^{\frac{3}{2}};k=i,e;m=l,r \]$

(8)

여기서 m = l,r은 양의 축하중을 기준으로 분할된 내/외륜의 좌, 우 부분을 나타낸다.

한편, c_k는 접촉상수^[17]이며, 볼과 내/외륜이 접촉할 때 국부적인 탄성변형은 각각의 중심길이 l_k,m의 변화에 따라 다음과 같이 결정할 수 있다^[13,14].

$\[ {\delta }_{k,m}=l_{k,m}-l_{o,k} \]$

(9)

SI/SO-TCBB에서 상단 볼의 하중분포는 Fig. 4와 같다. 볼의힘 평형방정식은 다음과 같이 나타낸다.

Fig. 4

Free-body-diagram of the top ball

i) SI-TCBB:

$\[ \begin{array}{c}{Q}_{il}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{il}-Q_{ir}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{ir}-Q_{er}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{er}+\frac{M_g}{D_a}\left({\lambda }_{il}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{il}+\right.\\ \left.{\lambda }_{ir}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{ir}-{\lambda }_{er}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{er}\right)=0\end{array} \]$

(10)

$\[ \begin{array}{c}{Q}_{il}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{il}-Q_{ir}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{ir}-Q_{er}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{er}+\frac{M_g}{D_a}\left(-{\lambda }_{il}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{il}+\right.\\ \left.{\lambda }_{ir}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{ir}+{\lambda }_{er}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{er}\right)+F_c=0\end{array} \]$

(11)

ii) SO-TCBB:

$\[ \begin{array}{c}{Q}_{il}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{il}+Q_{el}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{el}-Q_{er}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{er}+\frac{M_g}{D_a}\left({\lambda }_{il}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{il}-\right.\\ \left.{\lambda }_{el}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{el}-{\lambda }_{er}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{er}\right)=0\end{array} \]$

(12)

$\[ \begin{array}{c}{Q}_{il}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{il}-Q_{el}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{el}-Q_{er}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{er}+\frac{M_g}{D_a}\left(-{\lambda }_{il}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{il}-\right.\\ \left.{\lambda }_{el}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{el}+{\lambda }_{er}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{er}\right)+F_c=0\end{array} \]$

(13)

여기서 M_g는 자이로스코픽 모멘트, F_c는 원심력을 나타낸다^[1].

내륜 힘평형 방정식은 개별 볼과 내륜 사이에 작용하는 힘들의 합으로 얻어진다. 개별 볼에 작용하는 힘 평형식을 통해 계산된 접촉력과 외력을 합산하는 방식으로 계산할 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다^[16].

$\[ \left\{F\right\}+\sum _{j=1}^Z{\left[R\varphi \right]}_j^T{\left\{Q\right\}}_j=\left\{0\right\} \]$

(14)

여기서 {Q}_j는 j -번째 볼과 내륜 사이 접촉하중을 나타낸다. 내륜 접촉하중은 내/외륜 분할 베어링 종류에 따라 다음과 같이 계산할 수 있다.

i) SI-TCBB:

$\[ {\left\{Q\right\}}_j=\left[\begin{array}{c}-Q_{ilj}cos{\alpha }_{ilj}-Q_{irj}cos{\alpha }_{irj}-{\lambda }_{ilj}\frac{M_g}{D_a}sin{\alpha }_{ilj}+{\lambda }_{irj}\frac{M_g}{D_a}sin{\alpha }_{irj}\\ -Q_{ilj}sin{\alpha }_{ilj}+Q_{irj}sin{\alpha }_{irj}+{\lambda }_{ilj}\frac{M_g}{D_a}cos{\alpha }_{ilj}+{\lambda }_{irj}\frac{M_g}{D_a}cos{\alpha }_{irj}\\ -{\lambda }_{ilj}{M}_g\frac{r_{il}}{D_a}+{\lambda }_{irj}{M}_g\frac{r_{il}}{D_a}\end{array}\right] \]$

(15)

ii) SO-TCBB:

$\[ {\left\{Q\right\}}_j=\left[\begin{array}{c}-Q_{ilj}cos{\alpha }_{ilj}-{\lambda }_{ilj}\frac{M_g}{D_a}sin{\alpha }_{ilj}\\ -Q_{ilj}sin{\alpha }_{ilj}+{\lambda }_{ilj}\frac{M_g}{D_a}cos{\alpha }_{ilj}\\ -{\lambda }_{ilj}{M}_g\frac{r_{il}}{D_a}\end{array}\right] \]$

(16)

한편, λ는 자이로스코픽 모멘트에 대한 마찰 기여도로서 외륜 제어이론을 적용하여 아래와 같이 가정한다^[1].

i) SI-TCBB:

$\[ {\lambda }_{il},{\lambda }_{ir}=0,{\lambda }_{er}=2 \]$

(17)

ii) SO-TCBB:

$\[ {\lambda }_{il}=0,{\lambda }_{el}=0,{\lambda }_{er}=2 \]$

(18)

3. 시뮬레이션 및 토의

여기서는 본 연구에서 개발된 SI/SO-TCBB 수치적 모델을 검증한 결과와 두가지 베어링의 특성을 검토하기 위한 다양한 조건에서의 시뮬레이션 결과를 제시한다.

3.1 프로그램 검증

Fig. 5은 자체 프로그램을 적용한 SI/SO-TCBB와 참조문헌^[6] 및 베어링 제조업체 프로그램^[21]을 이용하여 비교 검증한 결과이다. Table 1은 참고문헌과의 검증에 사용된 내륜 분할 3점접촉 볼베어링, Table 2는 해석에 사용된 내/외륜 분할 3점접촉 볼베어링 정보를 보여준다. Fig. 5(a)는 SI-TCBB의 최대 접촉응력 해석결과를 비교한 것이다. 세가지 서로 다른 회전속도에서 결과를 보여주고 있으며 잘 일치하고 있음을 볼 수 있다. Fig. 5(b)는 SO-TCBB와 베어링 제조업체 프로그램의 접촉하중 해석결과를 비교한 것이다. 이 결과 역시 개발된 프로그램이 베어링 제조업체 프로그램과 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 5

Comparison of contact load of SI/SO-TCBB under pure axial load case((a) Fz = 666 N, gi = 0.2 mm, (b) Fz = 1,000 N, ge = 0.343, n = 10 krpm)

Table 1

Basic parameters of the sample bearing of ref.[6]

Table 2

Basic parameters of the sample bearing of QJ208-XL-MPA

3.2 시뮬레이션 및 결과 토의

Fig. 6는 내/외륜 아치길이가 0.1 mm일 때 축하중 크기의 변화에 따른 SI/SO-TCBB의 접촉하중을 비교한 것이다. Fig. 6(a)와 같이 SI-TCBB는 축하중과 회전속도에 무관하게 각접촉 볼베어링과 유사한 2점접촉 특성을 유지하는 반면에 SO-TCBB는 Fig. 6(b) 와 같이 회전속도가 증가함에 따라 발생하는 원심력으로 인해 특정속도가 되면 외륜의 좌측 접촉점(Fig. 1에 나타낸 LOR과 볼의 접촉점)에서 접촉이 형성되어 3점접촉이 발생한다. 또한 축하중이 증가할수록 3점접촉이 발생하는 회전속도가 늦어지는 경향을 보인다.

Fig. 6

Contact load with changing axial load and rotational speed under pure axial load case

Fig. 7은 단순 축하중 조건에서 내/외륜 아치길이만의 변화에 따른 SI/SO-TCBB의 접촉하중을 비교한 결과를 보여준다. SI-TCBB의 경우 Fig. 7(a)와 같이 내륜 아치길이와 회전속도에 무관하게 각접촉 볼베어링과 유사한 2점접촉 특성을 보이는 반면에 SO-TCBB의 경우에는 Fig. 7(b)와 같이 외륜 아치길이가 증가할수록 낮은 속도에서 3점접촉이 형성되는데 이는 아치길이에 따라 외륜 곡률반경 중심이 변화하기 때문이다.

Fig. 7

Contact load with changing and rotational speed under pure axial load case

Fig. 8은 축하중 하에서 SI/SO-TCBB의 TCA를 비교한 결과를 보여준다. SI-TCBB는 SO-TCBB보다 TCA에 취약한 경향을 보이지만 축하중을 증가시키는 경우 TCA 발생 회전속도를 지연시킬 수 있다.

Fig. 8

Comparison of TCA in SI/SO-TCBB under pure axial loading

축하중만 받는 경우에는 모든 볼이 동일한 접촉하중을 받게 되지만 복합하중이 작용하는 경우에는 개별 볼이 서로 다른 접촉하중을 받게 되므로 그 특성을 개별적으로 확인해야 한다. Fig. 9는 복합하중조건 하에서 SI/SO-TCBB의 개별 볼마다의 접촉하중을 비교한 결과를 보여준다. Fig. 9(a), (c), (e)와 같이 SI-TCBB는 복합하중 조건에서도 각접촉 볼베어링과 유사하게 2점접촉을 유지하는 반면에 SO-TCBB의 경우에는 Fig. 9(b), (d), (f)와 같이 외륜 아치길이의 영향으로 인해 일부 볼에서 3점접촉이 형성된다.

Fig. 9

Ball-raceway contact load of SI/SO-TCBB under combined load case(Fz, Fx = 1000 N, gi,e = 0.1 mm)

Fig. 10은 SI-TCBB에서 3점접촉을 발생시키는 하중조건에서의 접촉하중 특성을 비교하였다. SI/SO-TCBB 모두 경하중을 축하중에 비해 현저히 높게 설정한 경우에는 하중을 지지하는 볼의 개수가 급격히 줄어든다. Fig. 10(e)에서 볼 수 있는 바와 같이 SI-TCBB의 경우에는 일부 볼에서 내륜의 우측 접촉이 형성되는데 접촉하중이 비교적 작은 값을 갖게 된다. 이때는 볼과 내륜이 완전한 접촉을 이루지 못해 구르지 않고 미끄러지는 현상을 발생시킬 수 있다. SO-TCBB의 경우에는 Fig. 10(f)와 같이 외륜의 좌측 접촉점에서 접촉하중을 형성하는 볼의 개수는 늘어나지만 전체적으로 3점접촉을 유지하는 볼의 개수는 현저히 감소한다.

Fig. 10

Ball-raceway contact load of SI/SO-TCBB under combined load case(Fz = 300 N, Fx = 1000 N, gi,e = 0.1 mm)

Fig. 11는 복합하중조건에서 SI/SO-TCBB의 TCA 결과를 보여준다. SI-TCBB는 2점접촉을 유지하며 원심력을 지지하기 때문에 Fig. 11(c)와 같이 저속에서부터 외륜에서 TCA를 발생시키는 반면에 SO-TCBB는 Fig. 11(e)와 같이 외륜 아치길이로 인해 외륜의 두 접촉점에서 분할하여 원심력을 지지할 수 있으므로 고속인 40 krpm 주변의 좁은 영역에서만 외륜의 좌측 접촉점에서 TCA를 발생시킨다. 이것은, SI-TCBB가 SO-TCBB에 비해 TCA에 취약한 특성을 나타냄을 의미한다.

Fig. 11

TCA of SI/SO-TCBB under combined loading(Fz, Fx = 1000 N, gi,e = 0.1 mm)

Fig. 12은 SI/SO-TCBB에서 모두 3점접촉이 발생하는 하중조건에서의 TCA를 보여주고 있다. Fig. 12(c)와 같이 SI-TCBB의 외륜 접촉점에서 큰 경하중과 원심력이 중첩되어 SO-TCBB보다 TCA에 취약한 경향이 저속에서부터 더 뚜렷하게 나타난다.

Fig. 12

TCA of SI/SO-TCBB under combined loading(Fz = 3000 N, Fx = 1000 N, gi,e = 0.1 mm)

Fig. 13은 축하중 및 복합하중 하에서 SI/SO-TCBB의 피로수명을 비교한 결과이다. 그림에서 볼 수 있는 바와 같이 SI-TCBB의 피로수명은 각접촉 볼베어링과 유사한 피로수명 양상을 유지하는 반면에 SO-TCBB의 경우에는 3점접촉이 형성된 이후의 속도에서 피로수명이 개선되는 결과를 얻을 수 있다. 그 이유는 외륜의 두 점에서 하중을 분산하여 지지할 수 있기 때문이다. 이와 같은 이유로 외륜 아치길이가 증가할수록 저속의 영역에서 3점접촉이 발생하기 때문에 피로수명 결과가 확연히 개선되는 것을 확인할 수 있다. 복합하중 하에서 SI/SO-TCBB의 피로수명은 Fig. 13(b)와 같이 축하중만이 작용하는 경우보다 전반적으로 낮게 나타난다. 그러나 SO-TCBB가 3점접촉이 형성된 이후 속도에서부터 SI-TCBB보다 수명이 개선되는 경향을 보인다.

Fig. 13

Comparison of reference rating life of SI/SO-TCBB pure axial: Fz = 1000 N, combined: Fz = 1000 N, Fx = 500 N

4. 결 론

본 연구에서는 3점접촉이 가능하도록 구성된 SI/SO-TCBB의 접촉특성과 TCA, 피로수명 결과를 비교분석 하였다. 자체 모델을 개발하여 그 적절성을 검증하였다. SI/SO-TCBB에 대해 주요 인자들의 변화에 따른 특성을 비교 분석하였으며 그 결과 다음과 같은 결론을 도출하였다.

• 1) SI/SO-TCBB 모두, 개별 볼의 접촉점 형성이 하중 및 속도조건에 크게 영향을 받는다.
• 2) SI-TCBB는 저속인 경우이거나 경방향 하중이 크게 작용하는 조건을 제외한 대부분의 조건에서 각접촉 볼베어링과 유사한 2점접촉 특성을 유지한다.
• 3) SO-TCBB는 저속에서 2점접촉 특성을 나타내지만 원심력효과가 커지는 고속에서는 3점접촉 특성의 경향을 나타낸다.
• 4) SI-TCBB는 SO-TCBB에 비해 TCA에 취약하며 복합하중 조건에서는 더욱 취약한 경향을 보인다. 특히 큰 경하중이 작용하는 경우에는 그 경향이 저속부터 뚜렷하게 나타난다.
• 5) SO-TCBB는 3점접촉이 발생하는 회전속도 구간부터 하중 분산효과로 인해 SI-TCBB보다 피로수명이 개선된다.

Acknowledgments

본 연구는 국립금오공과대학교의 대학연구과제비(2024~2026) 로 지원되었습니다.

References

• Harris, T. A., 2001, Rolling Bearing Analysis 4th Edit, Wiley, New York, USA.
• Forster T., 2015, viewed 7 January 2024, Four-point Contact Ball Bearings-Two in One, <https://evolution.skf.com/four-point-contact-ball-bearings-two-in-one/, >.
• He, D. F., Liu, L. M., Chen, Y. S., 2010, Three-Point Contact Thrust Ball Bearing and Design Method, CN2010101250237A.
• Wock, M., Spachtholz, G., 2003, 3-and 4-Contact Point Spindle Bearings – A New Approach for High Speed Spindle Systems, CIRP Annals, 52:1 311-316. [https://doi.org/10.1016/S0007-8506(07)60591-5]
• Bamberger, E. N., Zaretsky, E. V., Signer, H., 1976, Endurance and Failure Characteristic of Main-shaft Jet Engine Bearing at 3 × 106 DN, J. of Lubrication Tech., 98:4 580-585. [https://doi.org/10.1115/1.3452940]
• Pinel, S. I., Zaretsky, E. V., Signer. H. R.,1998, Design and Operating Characteristics of High-Speed, Small-Bore, Angular-Contact Ball Bearings, NASA/TM-1998-206981, <https://ntrs.nasa.gov/citations/19980234239, >.
• Hamrock, B. J., Anderson, W. J., 1972, Arched-outer-race Ball-bearing Analysis Considering Centrifugal Force, NASA Technical Note D-6765, <https://ntrs.nasa.gov/citations/19720013820, >.
• Hamrock, B. J., 1974, Ball Motion and Sliding Friction in an Arched Outer-race Ball Bearing, NASA/TM X-71442, <https://ntrs.nasa.gov/citations/19740007023, >.
• Coe, H. H., Hamrock, B. J., 1977, Performance of 75-millimeter Bore Arched Outer-race Ball Bearings, J. of Lubrication Tech., 99:3 346-352. [https://doi.org/10.1115/1.3453219]
• Signer, H. R., 1980, Split-inner-ring Ball Bearing with Lubrication Structure, US Patent: US4334720A.
• Cao, H., Wang, D., Zhu, Y., Chen, Y., 2021, Dynamic Modeling and Abnormal Contact Analysis of Rolling Ball Bearings With Double Half-Inner Rings, Mech. Syst. Signal Process., 147 107075. [https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2020.107075]
• Ma, S., He, G., Yan, K., Li, W., Zhu, Y., Hong, J., 2022, Structural Optimization of Ball Bearings With Three-Point Contact at High-Speed, Int. J. Mech. Sci., 229 107494. [https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2022.107494]
• Sa, J. H., Kim, D. H., Rivera, G., Hong, S. W., 2024, Study on the Characteristics of Split-Outer-Ring Three-Point Contact Ball Bearings Subjected to Combined Loads, J. Korean Soc. Manuf. Technol. Eng., 33:1 35-43. [https://doi.org/10.7735/ksmte.2024.33.1.35]
• Sa, J. H., Rivera, G., Po Patrick J., Hong, S. W., 2024, Contact Characteristics of Split-inner-ring Three-point Contact Ball Bearings Under Combined Loading, Proc. Korean Soc. Manuf. Technol. Eng. Spring Conf., 307.
• Rivera, G., Sa, J. H., Hong, S. W., 2022, Study on the Fatigue Life of Three-point Contact Ball Bearings, Proc. Korean Soc. Manuf. Technol. Eng. Fall Conf., 20.
• de Mul, J. M., Vree, J. M., Maas, D. A., 1989, Equilibrium and Associated Load Distribution in Ball and Roller Bearings Loaded in Five Degrees of Freedom While Neglecting Friction-Part I: General Theory and Application to Ball Bearings, J. Tribol., 111:1 142-148. [https://doi.org/10.1115/1.3261864]
• Bai, C., Xu, Q., 2006, Dynamic Model of Ball Bearings with Internal Clearance and Waviness, J. Sound Vib., 294:1-2 23-48. [https://doi.org/10.1016/j.jsv.2005.10.005]
• Palmgren, A., 1924, The Service Life of Ball Bearings, Z.Ver. Deut. Ingr. (NASA TT F-13460), 68:14 339-341, <https://archive.org/details/nasa_techdoc_19710009534?utm, >.
• Lundberg, G., Palmgren, A., 1949, Dynamic Capacity of Rolling Bearings, J. Appl. Mech., 16:2 165-172. [https://doi.org/10.1115/1.4009930]
• ISO, 2008, Rolling Bearings – Methods for Calculating the Modified Reference Rating Life for Universally Loaded Bearings, ISO/TS 16281:2008, International Organization for Standardization, Geneva.
• Schaeffler medias, Schaeffler Technologies AG & Co. KG, n.d., <https://medias.schaeffler.kr/ko/bearinx, >.