기어 정밀도를 고려한 e-PGS 피니언의 굽힘 강도설계

1. 서 론

최근 거스 기어(girth gear)용 대형 링 기어 치형을 핀 또는 롤러 치형으로 대체한 핀 휠과 피니언이 외접 치합하는 핀 휠 기어쌍(external pinwheel gear set, 이하 e-PGS)^[1]이 유지 보수 및 제작 용이성 측면에서 주목을 받고 있다.

하지만 로터리 킬른(rotary kiln), 하역기(ship unloader), 화력발전소용 공기예열기, 가스-가스 재열기 등 다양한 산업 현장에서 적용하고 있는 e-PGS 피니언 치형은 스프로킷 등의 합성치형을 채택하고 있기에 치 물림 시 충격이 불가피하고 내구수명이 짧은 문제점 등이 있었다. 지금까지의 e-PGS 피니언 관련 자료조사 결과, 합성치형 설계방법^[2,3]과 중심거리증가계수(center distance modification coefficient, 이하 CDMC)의 개념을 도입한 엄밀치형 설계 및 강도설계^[1,4-9] 정도의 극소수 연구만이 수행되었다. 또 물림률(contact ratio, ϵ)이 1 < ϵ < 2인 대부분의 기어 구동 시 LPSTC(lowest point of single tooth contact), HPSTC(highest point of single tooth contact)를 경계로 전달하중의 분담(sharing)과 전담의 전환이 주기적으로 발생한다. 특히 전달하중 분담구간에서의 하중분포는 치형수정(profile modification) 및 기어 정밀도(gear accuracy grade)의 함수로 알려져 있고, 높은 신뢰도를 갖는 고품질 기어 설계를 위해서는 정확한 하중분포의 고려가 필수불가결하다.

이에 본 논문에서는 기어 정밀도를 고려하지 않은 기존 연구^[9]와 고려했을 때의 CDMC에 따른 굽힘응력 비교 고찰을 통하여 e-PGS 피니언의 굽힘 강도설계에 일조하고자 한다.

2. 기어 정밀도를 고려하지 않은 접촉력

e-PGS는 일정 각속도비 또는 피치점(pitch point, I₂₃)을 갖는 접촉 3절기구(Fig. 1 참조)의 일종으로서, 엄밀치형은 기어 모듈(m), 핀 휠의 롤러 개수(N₂), 피니언의 잇수(N₃), 롤러직경계수(C_r), CDMC(y), 이높이계수(β)로 구성된 6개의 설계제원들을 고려하여 속도의 순간중심과 동차좌표변환을 통해 결정^[1,6-9]할 수 있다. 이때 중심거리 a는 a₀=m(N₂+N₃)/2보다 크게 설계하여야 엄밀치형을 획득할 수 있다. 즉 CDMC y=(a - a₀)/m는 반드시 양수 값을 가져야 한다.

Fig. 1

Schematic for contact force determination

Fig. 1과 같이 e-PGS 피니언이 회전중심 I₁₃에 주어진 입력 토크 T_in에 의해 ϕ₃(roll angle)만큼 회전한 경우, 즉 임의의 회전각 θ_i에 위치한 i-번째 롤러와 피니언과의 접촉력 F_i는 일정 접촉강성(equal mesh stiffness)을 고려한 부정정 문제 접근^[1,6-9]을 통해 다음과 같이 결정할 수 있다.

여기서 n은 핀 휠과 피니언 간의 접촉 개소를 의미하고, l_i는 모멘트 팔로 압력각 α_i를 고려하여 다음과 같이 결정된다.

e-PGS 구동 시 식 (1)에 의한 접촉력 변화를 확인하기 위해 실제 제작운용 중인 하역기 선회용 거스 기어의 제원(Table 1 참조)을 고려하여 피니언 회전에 따른 접촉력 변화를 Fig. 2에 도시하였다. 초기 3곳의 접촉개소(=2[β]+1)를 가지며, 이때 피니언의 회전에 따라 물림이탈이 빠른 시간 순서로 핀 휠 롤러들의 접촉번호를 지정하였다. 또 이높이계수 β의 범위가 1 ≤ β < 2일 때 물림률은 ϵ=3-2/β로 평가^[1]된다. 따라서 Fig. 2의 물림률이 1.5이기에 각각 50%의 물림구간에서 두 쌍의 기어 치 또는 한 쌍의 기어 치들이 전달하중을 분담 또는 전담한다. 또 두 쌍의 기어 치들이 하중을 분담하는 구간(double tooth contact, DTC)에서 한 쌍의 기어 치들이 하중을 전담하는 구간(single tooth contact, STC)으로의 하중전환(또는 STC → DTC 하중전환)이 일어날 때 주기적이고 지속적인 급격한 하중변화를 겪게 되며, 이로 인해 다양한 피로파손이 야기된다.

Table 1

Design specifications of e-PGS pinion

Fig. 2

Distribution of contact forces

또 EMS 가정하의 식 (1)의 경우, STC 구간(LPSTC, HPSTC)에서의 접촉력은 최대 접촉력 F_max(=T_in/l_STC)와 거의 동일하면서 일정한 값을 가지는 반면, DTC 하중분담구간에서의 하중의 크기는 대략 F_max/2임을 알 수 있다.

3. 하중분담계수

통상 기어 정밀도(gear quality class, A_v)는 피치 오차(pitch deviation), 치형 오차(profile deviation), 잇줄 오차(lead deviation), 흔들림 오차(run-out deviation) 등을 종합적으로 검토하여 결정되며, 기어의 사용목적에 따라 적절한 기어 정밀도를 고려하여 제작하게 된다. 하지만 전 절 Fig. 2의 하중분포는 기어 이의 정밀도를 고려하지 않았기에 실제 기어 이가 받는 하중과는 상당한 차이가 있다.

즉 ISO 7급 이하(A_v ≤ 7)의 정밀급 기어의 경우 DTC 구간에서의 하중분포는 기어 진입 시 F_max/2의 하중분담이 아니라 (F_max/3 → 2F_max/3), 기어 퇴거 시 (2F_max/3 → F_max/3)의 선형적인 하중분담의 변화^[10-13]를 보인다. 또 ISO 8급 이상 기어의 DTC 구간 하중분포는 ISO 7급 이하와 마찬가지로 선형적이기는 하나 분담하중들이 등급에 비례하여 커진다. 이를 하중분담계수(load sharing factor, X)를 도입하여 설명한 그림이 Fig. 3이다. 여기서 하중분담계수 X = F/F_max로 정의된다.

Fig. 3

Distribution curves of load sharing factors for cylindrical spur gears with unmodified profiles

따라서 임의의 회전각 θ_i에 위치한 i-번째 롤러와 피니언과의 접촉력 F_i는 하중분담계수를 고려하여 다음과 같이 결정할 수 있다.

여기서

이때 A_Y=(A_v - 2)/15이며 A_v ≤ 7인 정밀급 기어의 경우 A_v = 7을 적용한다. 또 θ_3i = (N₂/N₃) θ_i = ([β]+1-i)ϕ_3p+ϕ₃를 나타낸다.

Fig. 4는 Table 1의 설계제원과 식 (3)을 기반으로 한 ISO 7급 기어의 접촉력 변화이다. 기어 정밀도를 고려하지 않은 Fig. 2와는 하중분담구간(DTC)에서 하중분포가 상당한 차이가 있음을 확인할 수 있다. 이를 보다 명확히 하기 위해 롤러 2와 접촉하는 피니언에 대한 식 (1)과 식 (3)의 하중분포를 Fig. 5에 동시에 도시하였다. DTC 구간에서의 확연한 차이를 재확인할 수 있으며, STC 구간에서의 하중분포는 거의 동일함을 확인할 수 있다.

Fig. 4

Distribution of contact forces for the case when Av =7

Fig. 5

Comparison of contact forces

Fig. 6은 기어 정밀도에 따른 롤러 2와의 접촉력의 변화를 도시하였다. 식 (4)의 A_Y값을 통하여 예측할 수 있듯이 기어 정밀도가 낮아질수록 DTC 구간에서의 분담하중이 증가함을 확인할 수 있다. 따라서 DTC 구간에서의 하중 및 응력을 낮추기 위해서는 높은 제작정밀도가 요구된다.

Fig. 6

Contact forces according to ISO quality class

4. 굽힘응력

이뿌리 부 인장 굽힘응력(tooth root bending stress, 이하 TRBS)으로 인한 기어 이의 절손(breakage)은 치명적 파손현상으로, 이의 내구설계를 위해서는 위험단면(critical section)의 위치와 현 이두께(t, Fig. 7 참조)의 여하한 결정이 관건이다. 본 논문에서는 하중점의 위치에 관계없이 치 중심선과 ζ = 30°의 각도를 이루는 직선이 기어 치에 내접하는 점(Fig. 7 의 점 C)을 통과하는 단면이 위험단면이 된다는 ISO 6336-3, DIN 3990-3, JGMA 401-01의 30° 접선법을 채택하여 모듈기반 치형계수(tooth form factor, Y)를 결정^[9]하였다. 이를 통해 다음과 같이 TRBS σ_F를 결정할 수 있다.

Fig. 7

30° tangent method for TRBS

여기서 k_∞는 K_o, K_v, K_s, K_m, K_B 등의 AGMA 보정계수^[14]들을 고려한 전체 보정계수(overall derating factor)를 의미하며, σ_F0는 보정 전 공칭(nominal) TRBS이다. 또 F_t는 접선력(transmitted tangential load)이며, Y_j는 형상계수(bending strength geometry factor)로 Y / Y_S의 값을 갖는다. 이때 Y_S는 이뿌리 부 피로응력집중을 고려한 ISO 6336-3의 응력수정계수(stress correction factor)로 다음과 같다.

여기서 L = t/l, q_S=t/(2ρ)이고 ρ는 위험단면에서의 곡률반경을 의미한다. 또 1 ≤ q_S < 8의 범위일 때 식 (6)은 유효하다.

그리고 식 (5)에서의 접선력 또는 굽힘하중 F_t는 다음과 같이 결정할 수 있다.

여기서 F는 식 (1) 또는 식 (3)의 접촉력이며, 하중각(load angle, Fig. 7 참조) γ는 다음과 같다.

이때 α는 해당 하중위치에서의 압력각을 의미한다.

5. 결과검토

5.1 이뿌리 굽힘응력

Table 1의 주어진 설계제원에 대한 굽힘강도 설계를 수행하기 위해 식 (5)에서의 접선력 F_t와 형상계수 Y_j를 순차적으로 검토하였다.

먼저 Fig. 8은 식 (1)과 식 (3)에 의해 롤러 2와의 접촉력(F)과 접선력(F_t)을 대비하여 도시한 그림으로 LPSTC 이전에서는 접선력(F_t)과 접촉력(F)이 거의 일치하나 LPSTC 이후 접선력(F_t)이 감소함을 확인할 수 있다. 이는 LPSTC를 지나 이의 물림이 진행될수록 하중각(γ)이 커짐에 기인한다. 또 기어 이의 굽힘에 관여하는 접선력(F_t)은 하중점(Fig. 7의 점 T)이 위험단면(Fig. 7의 점 C) 보다 낮은 위치에 있을 경우 유효하지 않기에 피니언 회전각이 약 3.2° 이상의 유의미한 접선력만이 Fig. 8에 반영되어 있음을 주목할 필요가 있다.

Fig. 8

Comparison of contact and tangential forces

Fig. 9는 Fig. 8(a), (b)의 접선력(F_t)만을 고려한 그림이며, 기어 정밀도를 고려했을 경우 DTC 구간 내에서의 가파른 접선력(F_t) 증감 변화를 확인할 수 있다.

Fig. 9

Comparison of tangential forces

다음으로 피니언 회전에 따른 형상계수 Y_j의 변화를 고찰하기 위해 치형계수(Y)와 응력수정계수(Y_S)의 변화를 Fig. 10과 Fig. 11에 제시하였다. 피니언 이뿌리부에서 이끝 부위로 물림이 진행되면서 치형계수(Y)와 응력수정계수(Y_S) 모두 감소하는 경향을 확인할 수 있다. 이에 의해 형상계수 Y_j 또한 물림위치가 증가할수록 감소하고 있음을 Fig. 12에서 확인할 수 있다. 또 CDMC가 증가함에 따라 치형계수(Y), 응력수정계수(Y_S), 형상계수(Y_j) 공히 증가함을 알 수 있다.

Fig. 10

Tooth form factor, Y

Fig. 11

Stress correction factor, YS

Fig. 12

Geometry factor, Yj

Fig. 13은 굽힘 강도설계를 위한 TRBS 결과를 식 (1)과 식 (3)에 기반하여 각각 도시한 그림들이다. 우선 CDMC가 증가함에 따라 TRBS는 감소함을 알 수 있다. 이는 CDMC 증가에 따라 Fig. 12와 같이 형상계수(Y_j)의 증가에 기인한다. 또 최대 TRBS는 HPSTC에서 발생함을 확인할 수 있다. 이는 기어 이뿌리 절손은 STC 최고위치인 HPSTC에서의 접선하중에 기인한다는 기존 인벌류트 치형 연구결과와도 일맥상통한다.

Fig. 13

TRBS variation according to CDMC

Fig. 14는 식 (1)과 식 (3)에 의한 Fig. 13의 각각의 결과들을 동시에 도시한 그림이다. 우선 식 (1) 또는 식 (3)에 따른 STC 구간에서의 TRBS 거동은 일치함을 알 수 있다. 반면 LPSTC 이전 DTC 구간에서는 식 (1)에 기반한 TRBS는 기어 정밀도를 고려한 TRBS 보다 과소평가됨을 확인할 수 있고, HPSTC 이후 DTC 구간에서는 TRBS의 변화경향이 극명하게 차이를 가짐을 확인할 수 있다. 즉 식 (1)에 의한 TRBS는 HPSTC 이후 감소하다 이끝으로의 물림이 진행되면서 다시 증가하는 반면, 기어 정밀도를 고려한 TRBS는 HPSTC 이후 물림이 종료될 때까지 감소하는 경향을 보인다. 이는 (F_t/Y_j)의 증감에 기인한다. 즉 HPSTC 이후 접선력(F_t)의 감소폭이 형상계수(Y_j)의 감소폭보다 큰 가 작은가에 따라 TRBS 거동이 달라진다.

Fig. 14

Comparison of tooth root bending stresses

또한 기어 정밀도가 낮아짐(A_v 증가함)에 따라 DTC 구간에서의 TRBS는 증가함을 확인할 수 있다.

5.2 수명평가

본 논문에서는 ANSI/AGMA 2001-D04를 준용하여 e-PGS 피니언에 대한 굽힘강도 안전계수^[14]를 다음과 같이 결정하였다.

$\[ S_F=\frac{S_t{Y}_N/\left(K_T{K}_R\right)}{{\sigma }_{F,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}} \]$

(9)

여기서 S_t는 10⁷ 부하횟수, 99% 신뢰도를 갖는 보정 전 굽힘피로강도, Y_N은 굽힘강도 수명 보정계수, K_T는 온도 보정계수, K_R은 신뢰도 보정계수이다.

본 논문에서는 보정 전 굽힘피로강도 S_t = 151 MPa인 Grade 1 고주파 열처리강^[14]을 고려하였다. 또 Table 1에 제시된 선회감속기 요구수명(B₁₀ 수명: 175,200 hr, N_req=2.17×10⁷ cycle)은 99% 신뢰도, 10⁷ cycle과는 다르기에 신뢰도 보정계수 K_R = 0.85(90% 신뢰도)를, 수명보정은 다음의 식을 고려하여 Table 2와 같이 안전계수들을 평가하였다.

$\[ Y_N=1.3558N_{req}^{-0.0178} \]$

(10)

Table 2

Safety factors of pinion (Nreq = 2.17×107 cycle)

그리고 최대 TRBS(σ_F,max)는 HPSTC에서의 공칭 TRBS σ_F0 값에 Table 1에 제시한 실제 운용환경을 고려한 보정계수 k_∞=2.8을 반영하여 평가하였다.

Fig. 13으로부터 알 수 있듯이 CDMC가 증가하면 TRBS가 감소하기에 굽힘강도 안전계수(S_F)가 증가함을 알 수 있다. 일반적인 기어 설계 시 굽힘강도 안전계수는 1.2 이상이 요구된다. 하지만 CDMC가 y=1/12와 같이 중심거리 증가 효과가 미미하거나 합성치형(y→0)^[2,3]일 경우, 일반적인 기어 강도설계 기준(S_F ≥ 1.2)을 충족하지 못함을 확인할 수 있다. 따라서 일정 값 이상의 CDMC 고려를 통해 e-PGS 피니언의 굽힘 피로수명을 확보할 수 있음을 알 수 있었다.

6. 결 론

본 연구에서는 기어 정밀도를 고려한 e-PGS 피니언의 굽힘강도 설계를 수행하였고, 그 결과를 요약하면 다음과 같다.

(1) 일정접촉강성 가정하의 접촉력과 하중분담계수를 고려한 접촉력은 하중전담구간(STC)에서는 거의 일치하였으나 하중분담구간(DTC)에서는 상당한 차이를 가지며 기어 정밀도가 낮을수록 분담하중이 증가함을 확인하였다.

(2) 또한 설계제원 중 중심거리증가계수의 증가에 따라 이뿌리 굽힘응력은 크게 감소하는 경향을 관찰할 수 있었고, 기어정밀도에 따라 하중분담구간(DTC)에서의 이뿌리 굽힘응력 거동은 큰 차이를 보임을 확인하였다.

최종적으로 본 논문에서 고려한 e-PGS 피니언의 경우 기어 제작정밀도를 높이고 일정 수준 이상의 적절한 중심거리증가계수 선정을 통해 요구되는 피로수명을 충족시킬 수 있음을 알 수 있었다.

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