열전달 해석에서 핀 형상 단순화 모델의 계산 효율성 연구

2.1 형상 모델링 및 단순화

본 연구에서 사용된 Bake chamber 모델은 Photoresist 코팅 공정을 위한 Heater, Proximity Pin, Glass Panel로 구성된다. Heater는 Glass Panel 표면에 코팅된 Photoresist 내 Solvent를 증발시키기 위해 사용되며, PID 제어 알고리즘을 통해 온도를 제어한다. Proximity Pin은 Heater와 Glass Panel 사이에 배치되어 Heater와 Glass Panel의 직접적인 접촉을 방지하며, Heater의 국소적 고온으로 인해 Glass Panel에 발생할 수 있는 열적 변형을 최소화한다. Glass Panel은 Photoresist가 코팅되는 기판 역할을 한다. Bake chamber의 형상과 주요 구성 요소는 Fig. 1과 같다.

Fig. 1

Geometry and main components of the bake chamber

원활한 해석과 형상 단순화에 따른 결과를 비교하기 위해 Proximity Pin의 형상을 SpaceClaim을 사용하여 단순화하였다. 기존 형상은 실제 구조적 디테일이 포함되어 있어 격자 생성 시 불필요하게 많은 Cell 수를 요구하고, 계산 비용이 증가하는 단점이 있다. 따라서 본 연구에서는 기존 형상 기반 계산 효율을 고려하여 두 단계의 단순화를 수행하였다. 단순화된 형상은 Fig. 2와 같다.

Fig. 2

Proximity pin geometries: (a) baseline detailed pin; (b) simplified Ⅰ (truncated cone); (c) simplified Ⅱ (cylinder)

첫 번째 단순화 형상은 원기둥과 원뿔대를 결합한 형상으로 실제 형상의 특징을 유지하면서도 기하학적 복잡도를 줄였다. 하부 원기둥은 높이 9 mm, 직경 5 mm이고, 상부 원뿔대는 높이 6 mm, 하부 직경 5 mm, 상부 직경 0.6 mm이다. 두번째 단순화 형상은 원기둥과 원기둥을 결합한 형상으로 원뿔대의 경사면을 제거해 직선 형상으로 단순화하였다. 하부 원기둥은 높이 9 mm, 직경 5 mm이고, 상부 원기둥은 높이 6 mm, 직경 0.6 mm이다. 상부 원기둥의 직경은 실제 원뿔 형상의 끝단에서 Glass Panel과 접촉하는 유효 면적을 기준으로 결정하였다. 이는 열전달 경로에서 주요한 열저항이 접촉부에서 지배되기 때문이며, 실제 접촉부 직경(약 0.6 mm)을 등가 조건으로 반영하였다. 단순화로 인해 외부 측면적은 약 23% 감소하였으나, 자연대류에서의 대류계수와 온도 차를 고려한 열손실 변화량은 최대 약 0.09 W로 미미하다. 따라서 단순화 형상에서도 실제 시스템의 열전달 거동을 충분히 근사할 수 있다. 또한 수치해석의 효율성을 높이기 위해 열전달에 기여하지 않는 불필요한 구조들은 단순화하여 제거하였다. 제거된 영역은 Chamber 상면의 패킹용 고무가 삽입되는 얕은 홈, Pin과 Heater 등을 체결하기 위한 볼트 삽입부 등으로 실제 공정에서 공기 유동이나 열전달 경로에 관여가 크지 않은 부분들이다. 이러한 부위들은 온도 구배 형성에 미치는 영향이 미미하므로 제거에 따른 해석 결과의 정확도에는 큰 차이가 없으며 계산 효율 향상에 기여할 수 있다.

2.2 기존 이론 모델

각 Pin 적용 모델에 대한 격자 선정 기준을 설정하기 위해, 원뿔대 Pin과 Glass Panel 접촉부에서의 Heat flux를 격자 선정 기준으로 정의하였다. 선정 기준인 접촉부 Heat flux를 얻기 위해 Pin 내부 전도 저항을 계산하고 이를 바탕으로 전도 기반 Heat flux를 계산한 뒤, Pin 외벽의 자연대류 열전달계수를 추정하고 Fin equation을 적용하여 최종 Heat flux를 산출하였다. Pin은 총 16개이며 위치에 따라 값이 상이하므로, 모서리 4개, 사이드 8개, 중앙 4개로 구분하여 각 부분의 평균 Heat flux를 산출하고, Pin 개수 비율을 가중치로 적용해 전체 평균을 계산하였다.

먼저, Pin의 축 방향 전도 저항인 R_pin은 원기둥과 원뿔대를 구분하여 계산하였다. 원기둥의 전도 저항은 단면적과 길이에 따라 산정하였으며, 원뿔대는 반경이 변하는 기하학적 특성을 고려하여 적분식으로 표현하였다. 이는 식 (1)과 같다. 다음으로, 전도에 의해 전달되는 열량 q는 Pin과 접하는 Heater의 온도 T_b와 끝단 온도 T_t의 차이를 이용하여 나타냈다. 이는 식 (2)와 같다^[15].

식 (1)에서 k는 열전도도, L₁, L₂는 각각 원기둥의 높이, 원뿔대의 높이이다. 또한 A₁과 A₂는 단면적을 나타낸다. 그리고 식 (2)의 A_end는 끝단면의 면적을 의미한다.

Pin 외벽의 자연대류 열전달은 벽면 Heat flux와 유체 중심 온도 차를 기반으로 하는 Churchill-Chu 관계식을 적용하였다. 해당 관계식은 수직 평판 조건에서 층류와 난류 영역 모두에 적용 가능한 경험식으로, Rayleigh Number (R_aL)와 Prandtl Number (Pr)를 통해 평균 Nusselt Number (Nu_L)를 산정하고, 이를 이용하여 평균 대류 열전달 계수 $$ \stackrel{-}{h}$$를 계산하였다. 이는 식 (3), (4), (5), (6)과 같다^[16].

식 (4)에서 g는 중력가속도, β는 체적열팽창계수, ΔT는 Pin의 외벽과 주변 유체 온도 차를 나타내며, L은 특성길이를 나타낸다. 또한, 식 (5)의 ν는 동점성계수이고 α는 열확산율을 나타낸다.

마지막으로, 자연대류를 포함한 Pin의 Heat flux 산정을 위해 Fin equation을 적용하였다. Pin은 균일 단면을 갖는 이상화된 구조로 가정하였으며, 온도 분포는 축 방향으로만 변화하는 것으로 단순화하였다. Fin equation에 포함되는 특성 매개변수 은 단위 길이당 열손실의 크기를 나타내며, 무차원 길이 ξ는 Pin 전체 길이에 걸쳐 대류 효과가 얼마나 지배적인지를 평가하는 무차원 수이다. 이들은 내부 전도와 외벽 대류의 상대적 영향을 정량적으로 나타내는 주요 변수로 각각 식 (7), (8)과 같다^[15].

여기서 h는 대류 열전달 계수이고, P는 Pin의 둘레, A_pin은 Pin의 단면적, k는 열전도도를 나타내고 L은 특성길이를 나타낸다.

Pin의 실제 Heat flux는 대류가 고려되지 않은 기준 Heat flux($$ {\dot{q}}^0$$)에 축방향 온도 분포에 따른 감소율 계수 Φ를 반영하여 근사적으로 표현된다. Pin의 실제 Heat flux와 감소율 계수는 식 (9), (10)과 같다.

식 (10)에서 θ₀는 기저부 초과온도, θ_L은 끝단의 초과온도를 나타낸다.

2.3 격자 생성 및 분석

해석에 적용할 격자를 생성하기 위해 Fluent Meshing을 사용하였다. Bake chamber는 대면적 구조를 가지므로, 계산 효율성을 확보하기 위해 Cell 수를 줄이는 것이 필요하다. 이에 따라 계산 효율성과 해석 안정성을 높이기 위해 다면체(polyhedra) 격자를 사용하였다. Polyhedra 격자는 사면체(tetrahedral) 격자 대비 동일 수준의 형상 해석에 필요한 Cell 수를 줄일 수 있어 계산 자원을 절감할 수 있으며, 평균적으로 낮은 skewness와 우수한 orthogonal quality를 제공하여 수치적 수렴성을 향상시킨다. 또한 Polyhedra 격자는 다수의 인접 Cell을 가지므로 gradient 계산이 용이하고, 수많은 면을 통한 질량 교환으로 수치 확산(numerical diffusion)을 줄일 수 있어 보다 정확한 해를 적은 Cell 수로 얻을 수 있다^[17].

원뿔대 Pin과 원기둥 Pin, 두 가지 형상에 따른 결과를 비교하기 위해 각 Pin에 대해 격자를 생성하였다. 열전달 해석은 격자 크기와 개수에 따라 해석 결과가 차이 날 수 있다. 일반적으로 Cell 개수가 많아질수록 결과 정확도는 향상되지만, 격자 생성 시간과 Iteration 시간 등이 증가하여 계산 비용 측면에서 비효율적이다. 따라서 신뢰성 있는 결과를 확보하기 위해 서로 다른 격자 수에서 산출된 값을 이론적 Heat flux와 비교하였다. 격자는 약 400만개, 600만개, 800만개, 1000만개의 네 가지 격자를 생성하였으며, Proximity Pin 상부와 Glass Panel 접촉부의 평균 Heat flux를 비교하였다. 격자 생성 파라미터는 Table 1에 나타냈으며, 각 Pin의 격자 형상은 Fig. 3과 같다.

Table 1

Mesh set-up parameters

Fig. 3

Mesh resolution levels (M1-M4) for simplified proximity pin models

2.4 수치해석 모델 및 지배방정식

수치해석은 상용 Computational Fluid Dynamics (CFD) 코드인 ANSYS Fluent 2024 R2를 활용하였다. 본 연구에서는 Pin 형상 단순화에 따른 Hot plate에 의한 Glass Panel의 온도 분포 변화를 분석하는 것을 주요 목적으로 하였다. 따라서 실제 Bake 공정의 진공 환경을 직접 모사하지 않고 대기압 조건에서 Hot plate로부터 Glass Panel로 전달되는 열전달 특성과 온도 분포를 중심으로 해석을 수행하였다. Bake chamber 모델은 대기압 조건에서 외부 강제 대류가 작용하지 않는 자연대류 환경을 가정하였다. Chamber 내부 유동의 특성을 판단하기 위해 앞서 정의한 Rayleigh Number(Ra_L)를 사용하였다. Ra_L는 온도차로 인한 밀도 변화가 부력으로 작용하여 유동을 발생시키는 경향을 정량화하는 무차원수로 정의된다. 온도 차(ΔT)는 Heater 온도 130^oC와 주변 공기 온도 23^oC의 차이인 107 K를 사용하였으며 특성길이(L)은 유동 구간에 따라 Heater와 Glass Panel 사이 거리 15 mm와 Glass Panel과 Chamber 상부 벽 사이 거리 120 mm를 각각 사용하였다. 유체는 대기압의 공기로 가정하였으며 23^oC에서의 공기 물성치인 밀도(ρ) 1.184 kg/m³, 점성계수(μ) 1.85×10^-5 Pa･s, 열전도율(k) 0.0262 W/m･k, 비열(C_p) 1007 J/kg･K, 체적열팽창계수(β) 3.38×10^-3 K^-1를 적용하였다. 또한, 동점성계수(ν)와 열확산율(α)은 공기 물성치를 기반으로 계산하였다. 공기의 물성은 온도에 따라 변하지만 23^oC 조건은 Ra_L를 보수적으로 산정할 때 가장 큰 값을 나타내므로 계산에서는 이를 기준 조건으로 설정하였다.

수평 평판계에서 임계 값은 1,708이며, 이를 기준으로 전도 지배와 대류 지배를 판별할 수 있다. 계산 결과, Heater와 Glass Panel 사이 구간에서의 Ra_L는 약 3.49×10⁴, Glass Panel과 Chamber 상부 벽 사이 구간에서는 7.79×10⁶으로 산출되었다. 두 값 모두 임계 값을 상회하여 온도 차로 인한 부력 효과로 유체가 상승 및 하강을 반복하며 형성하는 순환 구조인 자연대류 셀의 형성이 예상되지만, 난류 전이 기준인 10⁷에는 미치지 못하므로 Laminar 자연대류 모델을 적용하였다.

해석에 사용된 지배방정식은 Fluent에 내장된 비압축성 유동 방정식으로, 연속방정식, 운동 방정식 그리고 에너지 방정식을 포함한다. 이는 각각 식 (11), (12), (13)과 같이 표현된다^[18].

여기서 $$ \overrightarrow{u}$$는 속도 벡터, ρ는 밀도, p는 압력, μ는 점성계수, $$ \overrightarrow{g}$$는 중력가속도, C_p는 정압 비열, k는 열전도율, $$ {\dot{q}}_{rad}$$는 복사 열원항을 의미한다. 또한, Heater와 Glass Panel 사이의 온도 차가 상대적으로 크기 때문에 밀도는 Incompressible ideal Gas 모델을 적용하여 이상기체 상태방정식을 기반으로 온도 의존성을 직접 반영하였으며, 중력항을 포함시켜 부력 효과를 고려하였다. 계산 알고리즘은 속도와 압력 연성을 안정적으로 처리하기 위해 SIMPLEC 알고리즘을 적용하였다. 해당 해석 모델은 Ra가 10⁴~10⁶ 범위에 해당하는 Laminar 자연대류로, 유속이 낮고 부력항에 의해 속도와 압력장이 강하게 연계되는 특성을 가진다. 따라서, 압력보정식을 개선하여 수렴성을 높인 SIMPLEC 알고리즘을 적용함으로써 해의 안정성과 계산 효율성을 확보하였다. 또한, Residual은 연속방정식과 운동량 방정식에 대해 1.0×10^-5까지 수렴 기준을 적용하였으며, 에너지 방정식은 보다 엄격한 조건으로 1.0×10^-6까지 수렴하도록 설정하였다.

2.5 경계조건 및 물성치

본 CFD 해석에서는 Chamber 내부가 대기압 조건을 유지한다고 가정하였다. 이에 따라 Chamber 네 모서리에 위치한 네 개의 Outlet에 Pressure Outlet 경계 조건을 적용하고, 압력을 0으로 설정하여 내부 압력이 상승할 경우 유체가 배출구를 통해 외부로 빠져나가도록 하였다. Heater의 외부 표면에는 130^oC 등온 조건을 부여하여 Glass Panel을 가열하도록 하였으며, Chamber 외벽에는 단열(adiabatic) 조건을 적용하여 외부로 열 손실이 발생하지 않도록 설정하였다. 초기 Chamber 내부온도는 클린룸 환경을 고려하여 23^oC로 설정하였다^[19].

Heater와 Chamber는 Aluminum(Al) 재질을 적용하였으며, Glass Panel은 Borosilicate, Proximity Pin의 하부는 Al, 상부는 Vespel 재질을 적용하였다. 주요 구성요소와 Pin의 구성은 각각 Fig. 1과 Fig. 2에 제시하였다. 내부 표면의 흑색 코팅을 고려하여 S2S 복사 모델 계산을 위한 Internal Emissivity를 각 구성요소에 부여하였다. 또한 Bake chamber 내부를 공기로 설정하고 가득 찬 상태로 가정하였다. 세부 물성치는 Table 2와 같다.

Table 2

Material properties

3.1 단순화 모델의 타당성 및 효율성 검증

본 연구에서의 격자 선택의 기준은 원뿔대 Pin 적용 모델에 대해 전도와 대류를 고려하여 산정한 이론 Heat flux 값이다. 계산 결과, 원뿔대 Pin과 Glass Panel 접촉부에서의 평균 Heat flux는 6,559 W/m²으로 산출되었다.

원뿔대 Pin 적용 모델의 각 격자별 수치해석을 통해 도출된 평균 Heat flux는 M1에서 M4 순서대로, 7,274 W/m², 6,901 W/m², 6,622 W/m², 6,534 W/m² 이다. 이론 값 대비 절대 상대 오차는 순서대로 10.9%, 5.2%, 0.96%, 0.38%이다. 이론 값과의 일치도가 가장 높은 격자는 M4로 확인되었으며, 이에 따라 원뿔대 모델의 최종 격자는 M4 격자로 선정하였다.

원기둥 Pin 적용 모델의 격자별 수치해석을 통해 도출된 접촉부 평균 Heat flux는 M1에서 M4 순서대로 6,556 W/m², 6,404 W/m², 6,121 W/m², 6,194 W/m² 이다. 이론 값 대비 절대 상대 오차는 순서대로 0.05%, 2.36%, 6.66%, 5.56%이다. 이론 값과 가장 일치하는 격자는 M1 격자로 확인되었으며, 이에 따라 원기둥 모델의 최종 격자는 M1 격자로 선정하였다. 선정 결과는 이론 값과의 정합성을 최우선 기준으로 하였으며, 해당 결과는 Fig. 4와 같다.

Fig. 4

Comparison of pin heat flux across mesh resolution levels (M1-M4) with the theoretical value

Table 3은 원뿔대 Pin 모델과 원기둥 Pin 모델의 계산 효율성을 비교한 결과이다. 격자 Cell 수는 원뿔대 Pin 모델이 10,410,497개 대비 원기둥 Pin 모델 4,077,529개로 약 60.8 % 절감되었다. 이는 원기둥 Pin 모델이 기하학적으로 단순하여 미세 형상으로 인한 불필요한 국부 격자 세분이 줄고, 이에 따라 좋은 품질의 격자를 더 적은 수로 구성할 수 있기 때문이다.

Table 3

Computational efficiency of each pin model

계산 시간에서도 뚜렷하게 차이가 났다. 동일한 조건에서 1,000 Iteration 기준, 원뿔대 Pin 모델은 약 120분이 소요되는 반면, 원기둥 Pin 모델은 약 40분으로 66.7% 단축되어, 약 3배 빠름을 확인할 수 있었다. 또한, 격자 생성 시간 역시 원뿔대 Pin 모델이 약 40분, 원기둥 Pin 모델이 약 10분으로 약 75% 단축되는 결과를 보여 격자 생성 시간이 약 8배 빨랐다. 형상 단순화는 동일 정확도 수준을 유지하면서, Cell 수와 계산 시간 그리고 격자 생성 시간을 크게 줄일 수 있었다. 또한, 원기둥 Pin 모델은 해석 결과가 원뿔대 Pin 모델과 거의 차이를 보이지 않으므로, 계산 자원을 절감하여 계산 효율성 측면에서 우수함을 확인할 수 있었다.

3.2 단순화 모델이 적용된 Bake chamber 해석 결과

원뿔대 Pin 모델과 원기둥 Pin 모델의 열전달 해석 결과를 비교하여 형상 단순화가 해석 결과 미치는 영향을 평가하였다.

Fig. 5는 Glass Panel 상면의 위치별 온도 분포를 나타낸다. 두 모델 모두 중심부에서 온도가 가장 높고 모서리로 갈수록 감소하는 경향을 보였다. 정량적으로는 모서리 부근과 사이드 부근의 온도 차가 원뿔대 모델이 2.4 K, 원기둥 모델이 2.6 K로 유사하였다. 이는 모서리 하부에 배치된 Outlet의 영향과, 모서리가 열 확산 경로상 가장 먼 위치에 놓여 열 저항이 상대적으로 크기 때문으로 판단된다. 전체적으로 두 모델의 온도 분포 곡선은 거의 중첩되며, 전역적 온도장 관점에서 Pin 형상 단순화의 영향은 미미함을 확인하였다.

Fig. 5

Glass Surface temperature profile (Line 1, 2)

Fig. 6은 Glass Panel 상면의 온도 컨투어를 비교한 결과이다. 원뿔대 Pin 모델과 원기둥 Pin 모델의 최대 온도는 각각 403.1416 K, 403.1461 K로 0.0045 K의 차이를 보였고, 최소 온도는 각각 395.2915 K, 395.1297 K로 0.1618 K의 차이를 보였다. 또한, 최대온도와 최소온도 차는 각각 7.8501 K, 8.0164 K로 원뿔대 Pin 모델 대비 원기둥 Pin 모델에서 0.1663 K로 약 2.12 % 증가하였다. 그리고 Glass Panel 상면의 평균 온도는 각각 402.3426 K, 402.3113 K로 0.0313 K 차이를 보여 거의 동일하였다. 온도 컨투어 또한 전체적인 온도 분포 패턴이 유사함을 확인할 수 있어, Pin 단순화에 의한 해석 결과 차이는 거의 없는 것으로 판단된다.

Fig. 6

Glass top surface temperature contour

두 모델의 Glass Panel 상면 온도장과 온도 분포는 거의 동일하다. 이는 경계조건과 Pin 배치가 같으며, Glass Panel 내부 전도와 약한 유동의 순환이 주로 온도장을 형성하기 때문에 국부적인 Pin 형상 차이의 영향은 제한적이다. 따라서 열전달에 따른 전역 온도 분포 등과 같은 평가 및 분석에는 단순화된 모델을 사용해도 무리가 없을 것으로 판단된다.