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최근 Nowoisky^[4]는 보트 리프트용 잭킹 피니언의 굽힘응력에 대하여 고찰한 바 있으며, 이의 설계제원과 RRP 시스템의 설계제원을 Table 1에 나타내었다. 이때 동일 잇수, 동일 모듈(module), 동일 전위계수(profile shift coefficient), 동일 이 폭(face width)을 고려하였다.

Table 1의 형상설계제원을 기반으로 설계된 RRP 시스템의 초기 접촉형상은 Fig. 1과 같다. 이때, 피니언이 반시계 방향 회전 시 물림 이탈이 빠른 시간 순서로 롤러들의 접촉번호를 지정하였다.

Fig. 1 
Initial position of RRP system

Fig. 2는 인벌류트 치형과 RRP 시스템 치형을 대비한 그림이며, RRP 시스템의 치형은 인벌류트 치형보다 디덴덤(dedendum)은 감소하고 어덴덤(addendum)은 증가한 형태를 보였고, 대부분 높이 구간에 걸쳐 이두께(tooth thickness) 또한 커지는 경향을 보였다. 따라서 강도설계 시 두 치형은 상당한 차이를 가지리라 예측된다.

Fig. 2 
Comparison of tooth profiles

Fig. 3과 같이 피니언이 입력 토크 T_in에 의해 초기 위치로부터 ϕ만큼 회전을 했을 때, Nmθ_i/2 의 위치에 놓인 i-번째 롤러에서의 접촉력 F_i는 일정 접촉강성(equal mesh stiffness) 가정 하에 다음과 같이 결정^[5]할 수 있다.

Fig. 3 
Schematic for contact force determination

여기서 l_i는 모멘트 팔, n은 피니언과 롤러 사이의 초기 접촉개소 그리고 θ_i는 i-번째 롤러의 위치각을 의미하고 각각은 다음과 같다.

이때 N은 피니언의 잇수, m은 모듈, α_i는 압력각, β는 피니언의 이 높이를 결정하는 치선연장계수(addendum extension factor), [ ]는 내림함수(floor function), ϕ는 접촉이 유지되고 힘이 작용하는 구간까지의 피니언의 회전각(roll angle) 그리고 θ_p는 피치 회전각을 의미한다.

물림률(contact ratio, ϵ)은 어떤 한 순간에 접촉 상태에 있는 평균 잇수로 정의하며 일반적인 인벌류트 기어의 경우 압력각이 일정하므로 물림길이 결정을 통해 이를 쉽게 결정할 수 있으나, 가변 압력각을 갖는 RRP 시스템의 경우 치선연장계수 β의 함수로서 1 ≤ β < 2인 경우 다음과 같이 물림률을 결정^[6]할 수 있다.

Table 1의 설계 제원에 따르면 RRP 시스템은 1.5의 물림률을 가지므로 동일 설계제원의 인벌류트 랙-피니언 물림률 1.117 보다 큰 물림률을 가짐을 알 수 있다. 이는 기어 이들이 맞물려 회전할 때 인벌류트 치형은 11.7% 물림구간에서 두 쌍의 이가 하중을 분담(sharing)하며 88.3% 물림구간에서 한 쌍의 이가 하중을 전담함에 비해, RRP 시스템의 경우 50% 구간에서 두 쌍의 이가 기어 전달하중을 분담하며, 나머지 50% 구간에서 한 쌍의 이가 하중을 전담함을 의미한다. Fig. 4는 RRP 시스템의 피니언 치 하나의 전 높이에 대해 물림률을 설명한 그림이다.

Fig. 4 
Schematic for contact ratio

Fig. 5는 RRP 시스템의 접촉력 변화를 도시한 그림이다. 롤러 2가 유효접촉을 시작(Fig. 1 참조)하는 구간부터 하중전담시작지점 LPSTC (lowest point of single tooth contact)까지는 롤러 1, 롤러 2와 유효접촉을 하는 두 쌍의 치가 하중을 분담하고, 롤러 1이 접촉을 이탈한 후부터 하중전담종료지점 HPSTC (highest point of single tooth contact)까지는 롤러 2와 접촉하는 한 쌍의 치만이 하중을 전담한다. 그리고 다시 HPSTC 이후 부터 롤러 2가 접촉이탈을 하기 전까지 롤러 2, 롤러 3과 유효 접촉을 하는 두 쌍의 치가 하중을 분담한다. 이러한 하중의 주기적 변화는 기어 이 표면 피팅(pitting) 및 이뿌리 부 절손의 주요 원인으로 알려져 있다. 일반적으로 기어 이의 피팅은 LPSTC 부근에서 지배적이며, 기어 이 절손은 단일접촉 최고위치인 HPSTC에서의 굽힘하중으로 인한 이뿌리 굽힘응력에 기인한다.

Fig. 5 
Contact forces distribution

RRP 시스템 피니언의 단일접촉 최고위치인 HPSTC에서의 접선력 또는 굽힘하중 F_t는 다음과 같이 결정할 수 있다.

여기서 F는 HPSTC에서의 접촉력이며, 하중각(load angle) γ는 다음과 같다.

이때 e는 전위계수를 의미한다.

인벌류트 치형의 치형계수는 잇수와 압력각의 함수인 반면, RRP 시스템의 치형계수는 잇수(N), 전위계수(e), 롤러직경계수(roller diameter coefficient, C_r)의 함수이다. 최근 Kwon과 Cha^[7]는 작도법에 의해 RRP 시스템의 치형계수 결정방법을 소개한 바 있으나, 본 논문에서는 이론적으로 치형계수를 결정하고자 한다.

Fig. 6과 같이 기어 이에 내접하는 균일강도 포물선 꼭지점(T) 좌표(x_t, y_t)는 최악하중점인 HPSTC에서의 작용선(line of action)과 치 중심선과의 교점의 좌표로서 다음과 같이 결정할 수 있다.

위험단면 좌표점(C)은 RRP 치형을 롤러 또는 핀 반지름만큼 확대 오프셋한 치형의 임의의 좌표를 미분한 결과와 포물선 꼭지점(T)과 오프셋 치형의 임의 좌표에 대응되는 임의의 치 형상 점을 잇는 직선의 기울기를 비교하여 오차가 가장 작은 임의의 치 형상 점을 위험단면 좌표로 지정하였다.

그리고 포물선 꼭지점(T)과 위험단면 좌표(C)를 잇는 직선상에서 내린 수선과 치 중심선이 만나는 점을 굽힘응력 결정 좌표(B)로 결정하였다. 이를 통하여 다음과 같이 치형계수(Y)를 결정하였다.

본 논문의 Table 1의 설계제원에 따른 치형계수(Y)는 0.6345로 평가되었다.

본 절에서는 RRP 시스템에서 전위계수가 치형계수 또는 굽힘응력에 어떠한 영향을 미치는 지 검토하기 위해 Table 1의 설계제원(e=0.1881) 보다 작은 전위계수 값과 큰 값의 전위계수 값을 함께 고려하였다.

Fig. 8은 전위계수에 따른 피니언의 치형 변화를 도시한 그림이다. 전위계수의 증가에 따라 디덴덤은 감소, 어덴덤은 증가하였으며, 치 높이 전체에 걸쳐서 이두께 또한 증가하였다. 이를 통하여 전위치형이 이뿌리 부 굽힘강도 보강에 긍정적 효과를 주리라 예측할 수 있으며, Table 4에서 구체적 수치로 이를 확인할 수 있다. 즉 전위계수가 증가하면 치형계수는 증가하며 피로응력집중계수는 변화 없이 거의 일정하기에 식 (6)의 형상계수 Y_j(=Y / K_f)가 증가하여 이뿌리 부 굽힘응력이 작아짐을 알 수 있었다. 참고로 Table 4의 피로응력집중계수 K_f는 이 하나만을 모델링한 후 HPSTC에 접촉력을 가하여 유한요소 해석한 결과를 통해 결정한 값이다.

Fig. 8 
Pinion profiles with the variation of e

롤러직경계수(C_r)가 굽힘강도 형상계수 또는 이뿌리 굽힘응력에 미치는 영향을 검토하고자 롤러직경계수에 따른 치형 변화를 Fig. 9에 도시하였다.

Fig. 9 
Pinion profiles with the variation of C_r

롤러직경계수의 변화는 등거리 오프셋(equidistant offset) 치형의 결과로 귀결됨을 알 수 있다. 따라서 롤러직경계수가 감소하면 치형이 확대되어 치형계수 및 피로응력집중계수 모두 증가하나, 치형계수의 증가폭이 더 커 식 (6)의 형상계수 Y_j가 증가함으로 인해 이뿌리 부 굽힘응력이 작아짐을 Table 5에서 확인할 수 있다.

마지막으로 RRP 시스템의 잇수(N)가 이뿌리 부 굽힘응력에 미치는 영향을 검토하였다.

Fig. 10은 피니언의 잇수에 따른 치형의 변화를 도시한 그림이며, Fig. 10(a)와 같이 잇수가 커지면 기어 피치원(pitch circle) 또한 커져 치형들의 직접적인 비교가 어려워지기에 Fig. 10(b)와 같이 각 피치원의 정점들을 일치시켜 치형들을 비교하였다. 잇수가 증가함에 따라 디덴덤, 어덴덤, 그리고 치 높이 모두 감소하였으나, 이두께는 증가하였다.

Fig. 10 
Pinion profiles with the variation of N

결론적으로 잇수가 증가하면 치형계수와 피로응력집중계수 모두가 증가하나 식 (6)의 형상계수 Y_j 또한 증가하기에 이뿌리부 굽힘응력이 작아짐을 Table 6에서 확인할 수 있다.