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베어링의 강성은 내륜 중심점을 기준으로 외부에서 인가되는 힘과 모멘트에 대한 변위를 통해 계산된다. Fig. 2는 5 자유도 준정적 베어링 모델을 보여주고 있으며, 베어링 하중과 변위 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 2 
Five degrees of freedom ACBB model with loading and displacement

베어링 강성 행렬은 각각의 베어링에 인가되는 하중과베어링 반력의 평형식을 푸는 과정을 통해 얻을 수 있으며, 하중벡터에 대한 변위벡터의 미분으로 다음과 같이 표시된다.

베어링 모델을 이용하면 피로수명계산에 필요한 구름 요소들의 접촉 하중 분포를 같이 계산할 수 있다. ACBB 모델의 세부 사항은 다른 여러 연구에서 찾을 수 있다^[2,3,19-21].

스핀들-베어링 계의 특성 해석을 위해 유한요소해석을 사용한 운동방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다^[3].

여기서 [M^s], [G^s], [K^s]는 각각 스핀들 축 계의 질량, 자이로, 강성행렬이며, [K^b]는 스핀들을 지지하는 베어링에 의한 강성행렬을 의미한다. 또한, Ω는 축 회전속도를 의미하며, 전역좌표벡터 및 힘 벡터는 수평과 수직변위를 고려하여 다음과 같이 표현된다.

Fig. 3은 경방향 하중을 받는 경우의 스핀들과 베어링 특성을 계산하는 과정을 설명하고 있다. 스핀들에 경방향 하중이 가해지는 경우 베어링 하중이 힘평형식만으로 결정되지 않고 스핀들의 변형과 연계해서 결정된다^[26]. 이 문제를 해결하기 위해 반복해법을 이용한다. 먼저 경방향 하중을 고려하지 않은 경우의 베어링 강성을 계산하여 이를 초기치로 설정, 베어링 위치 별 반력을 계산한다. 계산을 통해 결정된 베어링 하중을 이용하여 베어링 강성을 결정하고 그 결과를 힘-평형 방정식과 힘-변형 방정식에 대입하여 반력을 다시 계산하는 과정을 수렴할 때까지 반복적으로 수행한다^[3].

Fig. 3 
Overall calculation procedure of spindle-bearing system equilibrium equation^[3]

스핀들-베어링 계에서의 여러 조건에 대한 베어링 수명에 대해서는 Bae^[19] 등에 의해 자세히 소개된 바 있다. 본 논문에서도 Bae^[19] 등에 의해 사용된 피로수명식 ISO 16281-2008 (Basic reference rating life:)을 이용하였으며, 수명 계산에 필요한 베어링의 볼 레이스 간 접촉력은 앞서 기술한 베어링 모델에서 얻어진다.

ISO 기본수명식(L_10r)은 베어링 회전요소에 대한 기본동정격하중(Rolling element load for the basic dynamic load)과 동등가하중(Dynamic equivalent rolling element load)을 이용하여 계산된다. 베어링의 기본수명식은 다음과 같이 표현된다.

여기서 Q_ci 및 Q_ce는 내륜과 외륜에 대한 기본동정격하중을 나타낸다. Q_ei 및 Q_ee는 베어링 하중에 따라 달라지는 내륜과 외륜의 동등가하중이다.

내륜이 회전하고 외륜이 고정된 베어링의 경우 Q_ei, Q_ee은 다음과 같다.

여기서 Q_j와 Z는 j번째 볼의 접촉 하중과 총 볼 수를 나타낸다^[20].

실험 대상인 대형 공작기계용 스핀들은 중공축(Hollow shaft) 내부에 축방향으로 이동 가능한 중실축(Solid shaft) 퀼(Quill)이 중첩된 구조로 구성되며, Fig. 5에 나타낸 바와 같이 SKF 7022 베어링 세트로 지지된 퀼(Quill)이 축방향으로 움직여 돌출하는 것이 가능하다. Fig. 6은 스핀들의 고유진동수 측정을 위한 실험의 구성과 측정된 주파수 응답 함수(FRF)를 보여준다. 스핀들 고유진동수 측정을 위해 충격실험을 수행하였다. 스핀들이 정지상태일 때 퀼의 돌출 위치에 따른 수직방향의 고유진동수를 측정하였다.

Fig. 5 
Movement of the quill in the axial direction

Fig. 6 
Impact test for the quill in the vertical direction: (a) experimental setup, (b) FRFs with varying quill position

Fig. 6(b)의 주파수응답함수로부터 스핀들의 고유진동수를 결정하였으며 퀼이 돌출됨에 따라 고유진동수가 낮아짐을 확인할 수 있다. Table 1에서 퀼 위치에 따른 고유진동수 측정결과와 제안한 모델의 계산결과를 비교하였다. 계산과 실험 결과가 대체로 잘 일치하고 있으나 계산이 약간 크게 나타나는 주 원인은 중실축과 중공축이 결합되는 부분을 중실축만으로 모델링함으로써 축 간 접촉부분의 강성 저하 효과가 반영되지 않았기 때문으로 추정된다.

이상과 같이 개발된 스핀들-베어링 계의 모델이 실험 결과와 유사한 결과를 보여주고 있으므로 스핀들-베어링 계의 특성을 해석하는데 유용함을 확인할 것으로 판단된다.

Fig. 7은 스핀들에 사용된 3가지 종류의 베어링에 대한 예하중 인가 방식과 회전속도에 따른 경방향 강성 변화를 나타낸다. 시뮬레이션은 경방향 하중이 없는 조건에서 수행되었으며, 그림에서 볼 수 있는 바와 같이 회전속도가 증가할수록 베어링 강성이 낮아지는 것을 확인할 수 있다. 예하중 인가 방식에 따라 강성의 변화 정도가 다르며, 정위치 예하중 방식이 접촉각 변화를 억제하는 효과가 있어 정예하중 방식에 비해 상대적으로 적은 변화를 보여준다.

Fig. 7 
Radial stiffness variation as a function of rotational speed for two preload methods

Fig. 8은 회전속도에 따른 베어링의 피로수명과 스핀들의 1차 고유진동수를 나타낸다. 본 시스템에서는 정위치 예하중을 사용하였다. 회전속도가 증가할수록 베어링의 피로수명과 스핀들 고유진동수가 모두 낮아지는 것을 확인할 수 있다. 특히, 1,000~3,000 rpm 사이에서 SKF 71948과 SKF 71944의 피로수명과 고유진동수가 급격히 감소한다. 이는 SKF 71948과 SKF 71944는 SKF 7022에 비해 더 크므로, 회전효과에 의한 영향을 더 크게 받기 때문이다.

Fig. 8 
Basic rating lives of ACBBs and spindle natural frequency as a function rotational speed

그림에서 보여주는 바와 같이 SKF 71948은 피로 수명이 가장 작을 뿐만 아니라 스핀들 앞 부분에 위치하게 되어 가공 시 받게 되는 경방향 하중에 가장 크게 노출된다. 따라서 전체 시스템의 설계에 있어 피로수명은 SKF 71948을 기준으로 보는 것이 타당하다고 판단된다.

가공 시 스핀들-베어링 시스템에 부가되는 절삭하중은 베어링에 직접적으로 인가되지 않고 축을 통해서 간접적으로 적용된다. 대상 시스템의 경우, 절삭 가공 중에는 일반적으로 퀼을 이동하지 않은 Z=0 mm인 상태에서 가공을 수행한다. 가공 중 발생하는 절삭하중에 의해 베어링에 간접적으로 작용하는 경방향 하중은 Fig. 1의 F_r로 표시된 것 과 같이 인가된다. 여기서는 경방향 하중에 대한 스핀들 시스템 특성 변화를 해석하였다.

Fig. 9는 정지상태에서 0~5 kN의 경방향 하중을 인가하였을 때의 베어링의 경방향 강성과 스핀들의 고유진동수를 보여준다. 그림을 통해 경방향 하중에 따른 베어링 강성과 스핀들 고유진동수의 변화가 매우 미소한 것을 확인할 수 있다. 이는 베어링의 부하용량이 상대적으로 크고, 하중을 지지하는 베어링의 개수가 많기 때문에 경방향 하중 영향이 미미하게 나타나기 때문인 것으로 파악된다.

Fig. 9 
Bearing stiffnesses and spindle natural frequency as a function of radial load (n=0 rpm)

Fig. 10은 대상 대형 공작기계의 최대회전속도인 2,500 rpm 조건에서 경방향 하중에 따른 베어링의 강성과 스핀들의 1차 고유진동수를 보여준다. 정지상태와 비교하여 회전속도에 의한 영향으로 베어링 강성과 고유진동수가 낮아졌지만 경방향 하중에 의한 영향은 미미함을 확인할 수 있다. 본 공작기계에서 예상되는 최대 절삭하중이 1.5~2 kN임을 감안하면 실제 베어링에 작용하는 경방향 하중은 이보다 더 적을 것으로 판단된다. 따라서, 본 스핀들의 경우 베어링 강성과 고유진동수가 경방향 하중에는 큰 영향을 받지 않는 것으로 예상된다.

Fig. 10 
Bearing stiffnesses and spindle natural frequency as a function of radial load (n=2,500 rpm)

Fig. 11은 경방향 하중과 회전속도에 따른 베어링 SKF 71948의 피로수명을 나타낸다. 그림에 나타난 바와 같이 저속 영역에서는 경방향 하중이 증가할수록 피로수명이 크게 감소하지만 고속 영역에서는 경방향 하중의 영향이 낮아지고 있다. 이는 베어링이 고속으로 회전할수록, 베어링의 회전효과로 인해 발생하는 접촉력의 비중이 경방향 하중에 의해 발생하는 접촉력의 비중보다 상대적으로 커지기 때문이다.

Fig. 11 
Fatigue life of SKF 71948 #3 as a function of rotational speed for different radial loads

대상 시스템의 최대회전속도 2,500 rpm에서 베어링 피로수명은 경방향 하중보다는 회전속도에 의한 영향을 크게 받고 있으나, 낮은 회전속도에서는 경방향 하중도 고려해야 함을 알 수 있다.

Fig. 12는 베어링 위치에 따른 SKF 71948의 피로수명 해석 결과를 보여주고 있다. 여기서 베어링 위치는 베어링 사이의 간격을 의미한다. Fig. 12(a)는 베어링 SKF 71948 간의 간격에 따른 피로수명을 나타낸 것이고, Fig. 12(b)는 베어링 SKF 71948 간의 간격과 경방향 하중에 따른 피로수명을 나타낸다. 그림에서 볼 수 있듯이 경방향 하중이 없는 경우에 베어링 위치는 피로수명에 거의 영향을 미치지 않는다. 그러나 Fig. 12(b)에서 경방향 하중이 인가된 경우, SKF 71948의 위치 변화에 따라 베어링 하중의 변화가 발생하여 피로수명이 영향을 받는 것을 확인할 수 있다. 이는 축에 인가되는 외부 하중에 의해 베어링의 반력들이 영향을 받기 때문이다. 따라서, 경방향 하중에 따른 베어링 반력의 확인이 필요함을 알 수 있다.

Fig. 12 
Fatigue life of SKF 71948 #3 according to bearing location (a) without radial load, (b) with radial load

베어링 배열의 변화는 실효적 하중 작용 위치와 지지 방향 등에 영향을 주어 베어링 피로수명의 변화를 야기한다. 이는 배열에 따라 식 (2)에 포함된 성분 중 커플링 강성(k_yθz, k_zθy, k_zyθ, k_θzy)의 부호가 달라지기 때문이다. 이 같은 변화는 베어링이 위치한 곳의 경방향 변위와 연동되어 스핀들의 운동을 억제하거나 강화하는 방향으로 작용하고 시스템 특성에 영향을 미치기 때문에 베어링 배열 또한 설계에 고려될 중요한 요소이다^[2].

Fig. 13은 서로 다른 4가지 베어링 배열에 따른 SKF 71948의 피로수명을 나타낸다. 그림에서 현재 대상 시스템에 적용된 배열인 “<<><><><<<>>”보다 다소 높은 피로수명과 고유진동수를 얻을 수 있는 배열이 있음을 확인할 수 있다. 베어링 배열은 스핀들 초기 설계에서 결정해야 할 인자로서 사후 변경이 불가하므로 사전에 베어링 배열에 대한 점검을 한다면 스핀들의 피로수명 및 고유진동수 개선에 활용할 수 있을 것으로 판단된다.

Fig. 13 
Fatigue life of SKF 71948 #3 and natural frequency according to bearing arrangement

Fig. 14는 SKF 71948의 예하중에 따른 피로수명을 나타낸다. 정위치 예하중을 기존보다 낮게 인가하였을 경우, 3,000 rpm 이하의 회전속도에서 피로수명은 크게 증가한다. 이는 예하중을 낮게 인가함으로 인해 베어링 볼에 작용하는 하중이 줄어들기 때문이다. 그러나 낮은 예하중으로 인해 고유진동수가 전체적으로 낮아지게 된다. 이러한 특성을 고려할 때 예하중을 적절히 선정하여 적정한 피로수명과 고유진동수를 확보할 필요가 있다.

Fig. 14 
Fatigue life of SKF 71948 #3 and natural frequency with preload changed

Fig. 15는 예하중 방식에 따른 베어링의 피로수명과 스핀들 고유진동수를 나타낸다. 운전속도 2,500 rpm에서 정예하중 방식의 피로수명이 정위치 예하중 방식보다 매우 크게 나타난다. 반면, 스핀들의 고유진동수는 매우 낮게 나오는 것을 확인할 수 있다. 이는 정예하중 방식에서 회전에 의한 베어링 강성 변화가 상대적으로 크게 나타나기 때문이다. 한편, 정예하중 방식에서 회전속도 중가에 따라 수명이 증가하였다가 급격히 감소하는데, 이는 저속에서는 원심력에 의해 내륜의 접촉력이 감소하여 수명이 증가하다가 속도가 커지면 외륜과의 접촉력 증가가 더 큰 영향을 미치기 때문이다.

Fig. 15 
Fatigue life of SKF 71948 #3 and natural frequency for two different preloading methods

결론적으로, 피로수명보다 고유진동수가 더 중요한 설계 조건이 되는 경우에는 정위치 예하중 방식을, 그 반대의 경우에는 정예하중 방식을 채택하는 것이 바람직함을 알 수 있다.