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본 연구에서 대상으로 하는 다각형 블록의 체인구동시스템은 Fig. 1에 도시한 것처럼 직선부 R_S1과 R_S2, 곡선부 R_C로 이뤄지는 개루프 시스템이다. 다각형 블록은 Fig. 2(a)에 나타낸 바와 같이 다수의 접촉면과 핀 조인트로 구성되며 핀 조인트에서의 회전 범위 ϕ는 블록 길이 L과 곡률 반경 ρ에 따라 다음과 같이 결정된다.

Fig. 2 
The geometry and pivot range of a polygonal block

식(1)로 결정되는 회전 운동은 R_S1, R_S2의 끝단 블록인 B_S와 B_C에서만 일어나며 그 외의 모든 블록은 상호 간의 접촉에 의해 회전 운동이 구속된다. Fig. 2(b)에 나타낸 바와 같이 R_S2에 속한 블록들은 접촉면 C_T에 의해 회전없이 직선 운동을 하게 되고 R_C에 속한 블록들은 접촉면 C_B에 의해 회전없이 블록 사이의 각도 ϕ를 유지한 상태로 반경 ρ인 원주를 따라 이동하게 된다.

Fig. 1과 같이 R_S2의 끝단이 수평 구동되면 R_S1의 블록 B_S는 회전하기 시작하여 ϕ에 도달하면 회전을 멈추고 R_C의 블록으로 변환된다. 동시에 R_C의 블록 B_C는 회전을 통해 R_S2의 블록으로 변환되며 이러한 운동이 각 블록에 대해 순차적으로 반복된다.

따라서 R_S2 끝단이 일정한 속도로 구동될 경우 Fig. 1(a)의 시스템은 주기운동을 하며 매 주기마다 R_S1의 블록은 1개 감소하고 R_S2의 블록은 1개 증가하므로 구동계는 블록 길이의 2배에 해당하는 2L만큼 수평 이동한다.

Fig. 3은 체인구동계의 운동학적 거동을 해석하기 위한 모델로서 블록 상호간의 회전 유무를 고려하여 5절기구로 단순화시켰다. 즉, 직선부 R_S1은 회전하지 않는 블록과 회전하는 변환 블록으로 나뉘므로 2개의 벡터 P→1과 P→2로 모델링하였으며 마찬가지로 곡선부 R_C도 P→3과 P→4로 모델링하였다. 반면에 직선부 R_S2는 모든 블록이 회전하지 않으므로 하나의 벡터 P→5로 나타냈다. P→1, P→2, P→4 및 P→5의 크기는 실제 블록 길이와 동일하지만 P→3의 크기는 곡선부의 회전없는 블록 수 N_C로부터 식(2)와 같이 주어진다. 여기서 N_C는 식(3)을 만족하는 최대 정수로서 B_S의 반과 B_C를 고려한 것이다.

Fig. 3 
Simplified kinematic modeling

이에 근거하여 Fig. 3의 구동계에 대한 해석 방정식은 다음과 같다.

여기서 P→2, P→3 및 P→4는 상호 간에 회전이 없으므로 θ₃와 θ₄는 θ₂로부터 아래와 같이 구할 수 있다.

따라서 끝단 E의 위치가 주어지면 식(4), (5)로부터 θ₂, θ₃, θ₄ 및 θ₅를 구할 수 있으며 그 결과로부터 계의 위치 특성을 알 수 있다. 또한 식(4)의 미분을 통해서 구한 식(6)으로부터 계의 속도 특성을 구할 수 있다.

여기서 ω₂, ω₃ , ω₄ 및 ω₅는 P→2, P→3, P→4 및 P→5의 각속도이다.

Fig. 1에서 변환 블록 B_S가 회전을 시작하는 시점부터 ϕ만큼 회전하는 시점까지를 체인구동계의 주기 T로 정의하고 주기 내 임의의 시각에서 변환 블록 B_S와 B_C의 회전 위상을 보면 Fig. 4(a)과 같다. 여기서 주목할 점은 두 블록의 회전 위상이 서로 동기화되지 않기 때문에 주기 운동은 상단의 변환 블록 기준으로 BCI에서 회전이 일어나는 P^I 단계와 BCII에서 회전이 일어나는 P^II 단계로 나뉜다는 점이다.

Fig. 4 
Angular motion of the switching blocks

2단계 주기운동을 Fig. 4(a)의 블록 사이 각도로 살펴보면 다음과 같다. 주기 운동이 시작할 때 B_S와 이웃 블록 B_S1이 이루는 각 δ_S는 ϕ에서 출발하지만BCI와 B_S2가 이루는 각 δCI는 ϕ보다 작은 값에서 시작하며 그 크기는 블록 길이 L과 곡률 반경 ρ에 따라 결정된다. 결과적으로 δCI는 Fig. 4(b)에 도시한 바와 같이 T_cr에 도달하는 순간 0이 되어 회전이 멈추게 되는데 이는 BCI이 곡선부에서 직선부로 변환이 끝났다는 것을 의미한다. 따라서 임계시각 T_cr 이후에는 변환 블록이 BCII로 바뀌게 되며 그로 인하여 곡선부의 블록 수 N_C가 1만큼 줄어들게 되고 식(2), (4), (5) 및 (6)의 파라미터 값들이 달라진다.

Fig. 3의 구동계는 끝단이 일정 속도 V_E로 운동하더라도 블록의 다각형 효과에 의해 속도 변동이 발생한다. 본 연구에서는 Fig. 3의 A점의 위치와 속도를 한 주기에 대해 구하고 수평 및 수직 방향의 변동 특성을 분석하였다. 여기서 A는 곡선부 R_C를 포함하는 가상의 원과 같이 이동하는 블록 상의 점으로서 중심 O와 x축 좌표가 일치하는 점이다. 즉, O와 핀 조인트 J_C의 x좌표의 차이 X_OJ는 식(7)로 주어지며 그로부터 A와 J_C 사이의 거리 P_AJ를 구하면 식(8)과 같다.

식(8)에서 X_OJ>0인 경우는 A가 P→4상에 위치함을 의미하고 X_OJ<0인 경우는 P→5상에 위치함을 의미한다.

만약 블록의 다각형 효과가 없다면 가상의 원은 0.5V_E의 일정 속도로 중심 O가 수평 이동한다. 따라서 식(8)과 앞 절의 식(2)~(6)으로부터 A의 위치와 속도를 구하고 다각형 효과가 없을 경우와 비교하여 차이를 구함으로써 변동 특성을 분석하였다.

다각형 블록의 체인 구동계는 블록 길이, 곡률 반경 및 끝단 이동속도에 따라 그 운동 특성이 달라진다. 본 연구에서는 곡률 반경 ρ를 70mm, 끝단 속도V_E를 -1 m/s로 고정시키고 블록 길이 L을 21.4~22.9mm 범위에서 0.5mm 간격으로 변화시키면서 계의 운동을 구했다.

Fig. 5는 L과 임계 시각 T_cr의 관계를 블록 각도 δ₁과 δ₂의 변화로부터 구한 결과이다. L=21.9mm일 때는 주기운동의 초기 상태에서 δ₁이 블록의 회전범위 ϕ와 같은 경우로서 T_cr이 존재하지 않고 P^I단계의 주기 운동만이 일어난다. 반면에 L이 그 외의 값일 경우에는 T_cr이 존재하며 P^I에서 P^II로 바뀌는 2단계의 주기 운동이 일어난다.

Fig. 5 
Angular motion of the upper switch blocks during one period vs. block length

Fig. 6는 한 주기 동안 A의 위치 변동을 수평 및 수직 방향에 대해 무차원화하여 도시한 것이고 Fig. 7은 A의 속도 변동을 동일하게 도시한 것이다.

Fig. 6 
Position deviation during one period vs. block length

Fig. 7 
Velocity fluctuation during one period vs. block length

그 결과를 보면 블록 길이 L의 변화에 따라 방향에 상관없이 위치와 속도가 크게 영향을 받는 것을 알 수 있다. Fig. 6(a)의 수평 방향 위치의 경우 변동 폭도 최대 0.02mm로 크지 않고 급격한 변화가 없는 반면 Fig. 6(b)의 수직 방향의 경우 최대 변동 폭이 0.86mm로 수평 방향에 비해 상대적으로 크고 두 가지 형태의 급격한 변화도 발생한다. 즉, P^I에서 P^II로 바뀌는 임계 시각 T_cr을 기준으로 크게 변하며 식(8)의 X_OJ가 (-)값에서 (+)값으로 바뀌면서 급격하게 감소함을 알 수 있다.

Fig. 7(a)의 수평 방향의 속도 변동을 보면 Fig. 6(a)와 달리 T_cr과 X_OJ의 부호가 바뀌는 시각에서 크게 변하고 Fig. 7(b)의 수직 방향의 경우도 수평 방향과 마찬가지로 T_cr과 X_OJ의 부호에 따라 크게 변하며 변동 폭도 수평 방향과 비교하여 매우 크다.

앞 절에서 분석한 체인구동계의 운동 특성은 식(4)의 단순화된 운동학적 방정식으로부터 얻은 결과로서 이를 검증하기 위해 다물체동역학 해석을 수행하였다. Fig. 8은 다물체동역학 코드인 ADAMS를 이용한 다각형 체인구동게의 모델링이며 Table 1은 해석에 적용된 파라미터를 정리한 것이다.

Fig. 8 
Multibody dynamics model (ADAMS)

Figs. 9과 10은 ADAMS 해석을 통하여 구한 위치 및 속도의 변동특성을 식(4)를 적용한 운동학적 해석 결과와 비교한 것이다. Fig. 9(a)의 수평 위치 변동을 제외하면 한 주기 내의 변동 패턴은 대체적으로 유사하다. 하지만 ADAMS 해석에서는 질량을 고려하기 때문에 임계 시각 TcrD에 도달하는 시간이 운동학적 해석에서 TcrK에 도달하는 시간보다 빠르다. 그 이유는 질량을 고려한 ADAMS 해석에서는 Fig. 1의 직선부 R_S2가 자중에 의한 처짐이 발생하고 그로 인해 Fig. 4(a)의 블록 사이 각 δCI의 초기 값이 질량을 고려하지 않은 운동학적 해석보다 작기 때문이다. Fig. 9(b)의 수직 위치 변동에서 ADAMS 결과가 더 작게 나오는 이유도 자중에 의한 처짐의 영향이며 반면에 Fig. 10(b)의 수직 속도 변동의 경우에는 정적 처짐의 영향이 없기 때문에 크기의 차이는 발생하지 않는다.

Fig. 9 
Comparison of results in the position

Fig. 10 
Comparison of results in the velocity

Fig. 10(a)의 수평 속도 변동의 경우 운동학적 해석에서는 임계 시각에서 급격한 변화가 나타나지 않지만 ADAMS 해석에서는 변동 폭이 크게 증가하는 것을 확인할 수 있는데 그 이유도 질량 효과로 인하여 임계 시각 이후에 P^II 단계로 바뀌면 직선부 R_S2에 속하는 블록 1개가 추가되어 수평 방향의 관성이 커지기 때문이다.

Fig. 9(c)는 ADAMS 해석과 운동학적 해석에서 위치 변동의 차이를 한 주기의 이동거리 2L에 대한 비율로 나타낸 것으로서 수평 방향의 경우 0.23%이고 수직 방향의 경우 1.92%이다. 또한 Fig. 10(c)는 속도 변동의 차이를 끝단 속도 V_E에 대한 비율로 나타낸 것으로서 수평 방향은 3.98%, 수직 방향은 8.08%의 차이를 보인다. 따라서 운동학적 해석을 통하여 구한 체인구동계의 운동 변동 특성은 질량 효과를 무시함으로 인해 오차가 존재하지만 블록 길이가 운동 특성에 미치는 영향을 분석하기 위한 본 연구에서 오차의 영향은 크지 않다.