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케이블 캐리어는 Fig. 1(a)에 보이는 바와 같이 케이블 자중에 의한 횡하중을 지지하면서 축방향으로 케이블을 이동시키는 장치이다. 캐리어는 블록과 핀조인트의 조합으로 구성되는데 블록 개수에 따라 이동 범위가 결정되며 단순지지단의 위치에 따라 직선구간Ⅰ, 곡선구간 Ⅱ 및 고정구간 Ⅲ의 길이가 결정된다. 각 블록이 속하는 영역은 캐리어가 오른쪽으로 이동할 경우 Ⅲ구간 → Ⅱ구간 →Ⅰ구간으로 변하고 반대로 왼쪽으로 이동할 경우 Ⅰ구간 → Ⅱ구간 → Ⅲ구간으로 변하게 된다. 또한 블록은 구간의 경계를 통과하는 순간에는 핀 조인트를 중심으로 회전하지만 구간 내에서는 블록과 블록 사이의 접촉면에 의해 회전이 구속된다.

Fig. 1 
Cable carrier

본 연구에서는 직선구간 Ⅰ에 속한 캐리어에 대해서 이동속도에 따른 동특성을 분석하고자 한다. 이를 위한 해석방정식을 유도하기에 앞서 다음과 같은 가정을 하였다.

첫째, 구간 내 블록 상호간의 회전이 구속되기 때문에 횡방향의 굽힘강성을 갖는 베르누이–오일러 보로 볼 수 있다. 둘째, 직선구간 Ⅰ의 횡방향 거동은 곡선구간 Ⅱ의 영향을 받지만 크지 않다는 가정 하에 고려하지 않았다. 그에 따라 구간 Ⅰ은 한쪽 끝단은 횡방향으로 고정되고 다른 끝단은 단순지지된 상태에서 축방향으로 이동하는 보라고 할 수 있다.

Fig. 1(b)와 같이 일정 속도 v로 축방향 이동하는 보의 횡방향 거동 y에 관한 운동방정식은 다음과 같다^[9].

식 (1)의 해는 고유진동수 ω와 파동수 k의 함수로 아래와 같이 주어진다.

식 (1), (3)으로부터 k와 ω에 관한 분산방정식을 아래와 같이 얻을 수 있다.

식 (4)를 풀면 k를 ω의 함수로 다음과 같이 유도할 수 있다.

위 결과를 반영하여 식 (3)을 고유진동모드 Y를 포함한 식으로 정리하면 다음과 같다.

여기서 고유진동모드 Y는 한쪽 끝단이 고정되고 다른 끝단이 단순지지되는 경계조건을 만족해야 한다. 즉,

식 (7)을 만족하는 Y가 존재하기 위해서는 아래와 같이 주어지는 특성방정식이 만족되어야 한다.

위의 특성방정식은 파동수 k₁,k₂,k₃,k₄에 관한 식이지만 식 (5)의 결과를 적용하면 고유진동수 ω와 축방향 이동속도의 파라미터 v_L에 관한 식으로 정리할 수 있다. 즉,

따라서 v_L이 주어지면 식 (9)를 만족하는 ω를 구할 수 있으며 그 결과를 식 (5)에 대입하면 k_i′s를 결정할 수 있다. 또한 식(6)에서 계수 c₁ = 1로 하면 나머지 계수들은 아래 식으로부터 얻을 수 있으며 최종적으로 고유진동모드 Y(u)를 구할 수 있다.

특성방정식 (8)의 해 ω는 복소수로 주어지는데 그 형태에 따라 시스템의 동특성을 판단할 수 있다. 즉, 식 (6)을 ω = ω_R + iω_I 로 다시 정리하면,

따라서 허수부 ω_I ≥ 0 이면 계가 안정하고 반면에 ω_I < 0 이면 계가 불안정하며 실수부 ω_R에 따라 두 경우로 나뉜다.

본 연구에서는 캐리어의 이동속도 v와 길이 L을 변화시키면서 고유진동특성 ω 및 Y를 구했으며 식 (8)의 특성방정식을 Matlab을 활용한 수치해석적 방법으로 풀어 ω를 구했다. 이를 위해서는 먼저 보의 파라미터 E, ρ 및 I의 값을 선정해야 한다. 탄성계수 E는 캐리어 블록의 재질에 따라 바로 결정할 수 있는 파라미터인 반면 밀도 ρ는 캐리어와 같이 이동하는 케이블의 질량을 반영하여 등가적으로 도출해야한다. 또한 단면 계수 I도 캐리어 블록의 형상에 근거하여 등가적으로 도출해야 하는 파라미터로서 그 과정은 다음과 같다. 먼저 Fig. 2에 나타낸 형상의 블록으로 구성되는 캐리어가 한쪽 끝단이 고정되고 다른 끝단이 단순 지지된 상태에서 자중으로 인한 균일분포하중 w를 받을 때의 최대 처짐을 유한요소해석으로 구하고 그 결과를 동일한 경계조건과 하중을 받는 균일한 보에 대해 이론적으로 구한 최대 처짐 δ_max = 0.0054 wL⁴ / EI 와 비교하여 등가 단면계수 I를 구했다.

Table 1은 그 결과를 정리한 것이다.

Fig. 2 
Estimation of the lateral stiffness

Fig. 3은 캐리어 길이가 L = 1m인 경우에 이동속도 v를 변화시키면서 구한 캐리어의 고유진동수 ω_i를 3차까지 도시한 것이다. v = 0에서는 모든 ω_i가 실수로 주어지며 v가 증가함에 따라 감소하다가 순차적으로 임계속도에 이르면 허수 또는 복소수로 형태가 변환된다. ω₁의 경우 임계속도에서 (-)의 허수로 바뀌면서 발산에 의한 불안정 모드가 된다. 반면에 ω₂ 및 ω₃ 는 임계속도에서 분기가 발생하여 하나는 (-)의 허수부를 갖는 복소수로 변환되어 플러터에 의한 불안정 모드가 되고 다른 하나는 실수 형태로서 안정모드가 유지된다.

Fig. 3 
Natural frequencies and stability behavior (L=1 m)

Fig. 4는 캐리어 속도에 따른 시간응답을 나타낸 것으로서 안정 응답, 발산에 의한 불안정 응답, 플러터에 의한 불안정 응답의 시간에 대한 변화를 비교 도시하였다.

Fig. 4 
Classification of the transient responses (L=1 m)

Fig. 5는 캐리어 길이를 변화시키면서 고유진동수와 이동속도의 관계를 도시한 것으로 “S”는 안정모드, “D”는 발산에 의한 불안정 모드, “F”는 플러터에 의한 불안정 모드를 의미하고 아래 첨자는 고유진동의 차수, 위 첨자의 “P”는 전파 모드, “NP”는 비전파 모드를 의미한다.

Fig. 5 
Natural frequencies vs. the carrying velocity

여기서 전파 모드란 식 (5)에서 파동수 k_3,4 가 실수인 경우의 Y를 의미하며 축방향으로 전파되는 특성을 갖는다. 식 (5)로부터 전파 모드와 비전파 모드의 경계 조건을 구하면 식 (13)과 같다.

Fig. 5에서 ω가 분기점보다 낮으면 전파 모드이고 높으면 비전파 모드에 해당되는데 그 이유는 분기점에서의 ω와 v가 식 (13)의 경계 조건에 거의 일치하기 때문이다. Fig. 4 및 Fig. 5에서의 분기점을 식 (13)의 경계 조건과 비교해서 나타낸 것이 Fig. 6인데 속도가 증가함에 따라 약간의 오차가 존재하지만 모든 경우에서 거의 일치함을 알 수 있다.

Fig. 6 
Breakaway characteristics

또한 Fig. 5에서 속도 증가에 따른 ω의 변화를 보면 캐리어 길이와 상관없이 거의 유사한 패턴을 나타낸다. 즉, 속도가 증가함에 따라 ω₁이 안정 모드에서 발산에 의한 불안정 모드로 바뀌고 ω₂ 이상의 고차에서는 안정 모드가 플러터에 의한 불안정 모드로 바뀐다. 다만, Fig. 5(b)의 L = 1.25 m인 경우 ω₂의 경우에도 발산에 의한 불안정모드가 발생하며 같은 속도 대역에서 플러터에 의한 불안정 모드와 공존하게 된다.

앞 절의 Fig. 5에서 살펴본 바와 같이 캐리어의 고유진동수 ω는 이동속도 v와 길이 L의 영향을 복합적으로 받아 그 값이 변한다. 만약 v = 0 이라면 ω ∝ (1/L)²의 관계가 성립하므로 v가 증가함에 따라 위 관계가 어떻게 변하는지를 안정 모드와 불안정 모드로 구분하고 각 모드의 차수별로 구분하여 분석하였다. Fig. 7은 이동 속도와 길이를 각각 변화시키면서 안정 모드에 해당하는 ω를 구하고 (1/L)²과의 비례 관계가 성립하는지를 나타낸 것이다. 그 결과를 보면 v = 10 m/s인 Fig. 7(a)는 ω ∝ (1/L)²의 비례 관계가 ω₁부터 ω₄까지 전 모드에서 잘 만족되지만 v가 증가한 Fig. 7(b), (c)의 경우 비례 관계의 오차가 발생하며 그 크기는 저차 모드로 갈수록 커진다는 것을 확인할 수 있다. 그 이유는 저차로 갈수록 임계 속도에 먼저 도달하고 임계 부근에서 ω의 변화가 급격하게 일어나기 때문이다.

Fig. 7 
Natural frequencies vs. the length (stable modes)

Fig. 8은 플러터에 의한 불안정 모드의 경우에 ω_R과 L의 관계를 검토한 결과로서 v의 증가와 불안정으로 인하여 ω_R ∝ (1/L)²의 관계로부터 많이 벗어나는 것을 알 수 있다.

Fig. 8 
Natural frequencies vs. the length (flutter modes)

Fig. 9는 캐리어 속도를 변화시키면서 고유진동모드 Y를 도시한 것이다. 이동속도가 저속이고 전 모드가 안정한 Fig. 9(a)의 경우 모드 형상은 정지 상태에서의 모드 형상과 비교하여 차이가 없다. 반면에 불안정 모드의 경우 경계조건이 충족되지 않는 형상을 보이는데 Fig. 9(b)의 발산 모드 D₁은 고정단에서의 형상이 충족되지 않으며 Fig. 9(c)의 플러터 모드 F₂는 단순지지단에서의 형상이 부합하지 않는다. 또한 속도가 증가하면 안정모드인 경우에도 Fig. 9(c) 및 (d)에 도시한 바와 같이 정지상태의 모드 형상과는 크게 달라진다.

Fig. 9 
Natural modes (stable modes, L=1.5 m)

Fig. 10은 모드 형상과 캐리어 이동속도와의 관계를 고차의 안정 모드와 불안정 모드에 대해 나타낸 것으로 고속으로 갈수록 형상 변화가 커지고 안정 모드에 비해 불안정 모드의 변화 폭이 더 큰 것을 관찰할 수 있다.

Fig. 10 
Natural modes vs. the carrying velocity (L=1.5 m)

앞의 3.2절에서 캐리어 길이 L = 0.75, 1.0, 1.25, 1.5 m인 경우에 캐리어의 이동속도에 따른 안정성 여부를 각각 판별하고 발산 또는 플러터에 의한 불안정 상태로 접어드는 임계속도를 구했다.

Fig. 10은 캐리어 길이를 L = 0.5 → 1.5 m의 범위 내에서 더 세분하여 변화시키면서 각 경우에서의 임계속도를 구하고 그 결과를 발산과 플러터로 구분하여 나타낸 것이다. 여기서 마커로 표기된 것은 식 (8)의 특성방정식을 풀어서 구한 임계속도이고 실선으로 나타낸 것은 마커들의 보간을 통해서 생성한 불안정 영역의 경계이다.

그 결과를 보면 불안정 영역의 경계에서 캐리어 속도 v와 거리 L은 v ∝ (1/L)의 관계에 있으며 Fig. 11(a)의 발산과 Fig. 11(b)의 플러터에 의한 불안정 현상에서 동일하게 나타난다. 캐리어 길이와 상관없이 발산에 의한 불안정 영역은 1차 모드에 대해 발생하는 반면에 플러터에 의한 불안정 현상은 2차 이상의 고차 모드에서 발생한다. 다만 예외적으로 L ≈ 1.25 m 부근에서는 2차 모드에 대한 발산 현상이 나타나며 이는 Fig. 5(b)의 결과와 일치한다.

Fig. 11 
Stability diagram

Fig. 12는 플러터 현상에서 응답 상승률을 캐리어 속도와 길이의 변화에 대해 나타낸 것이다. 그 결과를 보면 속도가 증가할수록 상승률이 커지는 반면 길이의 변화가 상승률에 미치는 영향이 미미하다.

Fig. 12 
Logarithmic increment vs. the carrying velocity