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위상 최적화(topology optimization)는 주어진 형상의 최적 배치를 결정하는데 관심이 있다. 공간의 어떤 지점에 요소가 배치되어야 하고 어떤 지점이 공백으로 남아 있어야 하는지 결정해야 한다. 즉, 위상 최적화는 하중 및 경계조건을 제약조건에 만족시키기 위해서 설계 공간의 질량을 재분배하는 기법이다. 대표적으로 균질화법(homogenization metod), 밀도 함수법(density function method)이 있다. 밀도 함수법은 유한 요소 해석 프로그램인 Ansys에서 일반적으로 사용되는 기법이다. 이는 Mlejnek와 Schirrmacher^[11]이 제안한 방법으로써 물질의 밀도의 분포를 고려하고 구조물의 요소(elemnt)들을 제어하여 최적의 형상을 도출한다.

일반적으로 최적 설계는 목적 함수(objective function)의 컴플라이언스(compliance)를 최소화한다. 이는 값이 작을수록 구조물의 전역 강성(global stiffness)이 커지게 되어, 구조물은 더 견고하고 안정적인 상태가 된다. 이러한 컴플라이언스를 수식으로 나타내면 다음 식 (1)^[12]과 같다.

여기서 u는 변위장, f는 물체에 전체적으로 분포하는 힘, F_e 는 e번째 노드에 가해지는 하중, u_e는 e번째 변위 자유도, t는 견인력, S는 연속체의 표면적, V는 연속체의 부피를 뜻한다. 여기서 컴플라이언스를 최소화하기 위한 대부분의 일반적인 최적화 문제는 식 (2)^[13]와 같이 표현된다.

위 식에서 C는 컴플라이언스 함수, u는 변위벡터, F는 하중 벡터, K는 강성 매트릭스이다. 여기서 밀도 함수법을 식 (2)와 (3)으로부터 FEM 형태의 식으로 표현하면 다음 식 (4)^[13]와 같이 정식화할 수 있다.

위 식에서 ρ는 유사밀도(pseudo density), p는 벌칙인자 또는 페널티 계수(penalty factor), V는 설계 공간의 부피이다. 여기서 유사 밀도 ρ가 0인 경우에는 요소가 공백(void)으로 간주되어 요소가 비 활성화되고 1인 경우에는 요소가 활성화되며 최적화가 이루어진다. 이러한 방법으로 유사밀도의 분포가 구해지면 0과 1사이의 중간 값이 명확하지 않은 설계를 생성하기 때문에 문제가 발생한다.

연속 함수를 사용하면서 유사 밀도의 0과 1사이의 중간 값을 보정하기 위해 SIMP(solid isotropic material with penalization) 법을 사용하여 벌칙화하게 된다. 이는 BendsØe와 Sigmund^[14]가 제안하였으며, 유한 요소 해석 프로그램에서 밀도 기반의 위상 최적화를 수행하기 위해 일반적으로 사용되는 접근법이다. 벌칙화를 위해 사용되는 매개변수를 페널티 계수라 하며, 페널티 계수는 식 (5)^[13]에서 유사 밀도와 탄성계수와의 상관관계식으로부터 정의된다.

위의 식 (5)에서 E는 등가 탄성계수, E_o는 재료의 탄성계수이다. 페널티 계수로 인하여 밀도와 탄성계수의 관계에서 비선형을 만들게 되며, 일반적으로 2에서 4의 값을 사용하고 있다. 여기서 페널티 계수가 2일 경우에는 비선형성이 작아 유사밀도의 중간 값이 많이 나온다. 그리고 4일 경우에는 비선형 곡선이 급격히 변화하므로 최적화 결과가 매끄럽지 못하는 경향이 있다. 때문에 페널티 계수는 주로 3을 사용하여 보정하게 된다.

베드는 Fig. 1과 같이 두 개의 칼럼과 턴테이블을 지지하고 있다. 이때 칼럼은 베드의 안내면을 따라서 Y축 방향으로 작동한다. 따라서 안내면에 주요부의 중량을 고려하여 하중을 적용해야 한다. 우선 구조 해석을 수행하기 앞서 Fig. 1과 같이 해석 대상물을 간소화하였다. 그리고 베드와 결합되는 주요부의 중량을 고려하여 하중을 적용하였다. 칼럼이 설치되는 안내면에 각각 11376 N, 턴테이블이 설치되는 지점에는 6383.2 N을 적용하였다. 이어서 자중을 고려하여 중력 조건을 추가하였으며, 베드의 발판을 구속 조건으로 적용하였다. 사용 소재는 FC30이며, 물성치는 Table 1과 같다.

Fig. 1 
Simplified bed shape

강성 해석 결과 Fig. 2에 도시한 바와 같이 최대 응력은 5.4778 MPa로 도출되었다. 이는 안전율이 41.5에 달하는 수치이다. 또한 각 축의 변형량은 X축이 2.878μm, Y축 2.67μm, Z축 12.942 μm이다. 여기서 베드는 Z축 방향으로만 하중이 가해졌으므로 Z축 강성을 도출하면 878.99 N/μm이다. 결과를 종합해 보면 초기 설계안은 상대적으로 높은 안전율과 강성을 가지고 있다. Fig. 2를 살펴보면 Z축 하중으로 인하여 외곽의 리브에 응력과 변형이 집중적으로 발생하는 것을 확인할 수 있다. 이는 외곽의 리브 구조가 베드의 강성에 크게 기여하고 있으나 중심부의 리브는 그렇지 못하다는 것을 의미한다. 베드의 강성이 우수하더라도 불필요한 리브의 배치로 인하여 비용이 증가하므로 리브 구조에 대한 최적화 및 경량화 연구가 필요하다.

Fig. 2 
Analysis result of initial shape

Fig. 3 
Optimization area

초기 설계안은 직교 리브 구조로 설계되어 있으며, 베드는 좌우 형상이 대칭구조이다. 따라서 위상 최적화 시 시간을 절약하고자 형상을 반으로 분할하고 대칭 조건을 부여하였다. 다음으로 리브가 배치되지 않은 초기 설계 단계의 형상이 필요하므로 Fig. 4-2와 같이 오버 디자인(over design)을 하였다. 다음으로 식 (6)과 같이 목적함수와 제약조건을 정의하였다.

Fig. 4 
Rib optimization process

초기 설계안의 질량은 4123.8kg 이다. 따라서 제약조건은 분할된 형상의 질량인 2061.9kg 미만이 되도록 하였다. 또한 초기 설계안의 최대 변형량인 18.11µm 이하가 되도록 하였다. 페널티 계수는 수렴성을 고려하여 3으로 설정하였으며, 설계 영역은 Fig. 3과 같이 초기 리브가 설계되어 있던 베드의 하면으로 지정하였다.

이와 같은 조건으로 최적 설계를 수행한 결과 Fig. 4-3과 같이 초기의 직교 리브 구조가 아닌, 발판과 안내면의 설치지점까지 연결된 형상이 생성되었다. 이는 초기 설계안의 리브 구조와 달리 중심부를 지나는 리브의 배치가 부적절하다는 것을 보여준다. 이러한 결과를 바탕으로 Fig. 4-4와 같이 리브를 설계하였다. 이때 베드의 리브 치수는 초기 두께 20mm, 높이 397.6mm를 기준으로 설계하였다.

최적 설계 후 질량의 변화를 비교한 결과 Table 2에 도시한 바와 같이 초기 질량 4123.8kg에서 최적화 후 3926.6kg으로 4.78% 경량화되었으며, 최적화 전·후의 설계안은 Fig. 5에 도시하였다.

Fig. 5 
Optimized shape of bed

최적 설계의 검증을 위해서 최적 설계안에 대해 초기 설계안과 같은 조건으로 정강성 해석을 수행하였다. 그 결과 Fig. 6과 Table 3에 도시한 바와 같이 최대 응력과 3축의 변형량을 도출하였다. 베드의 최대 응력은 3.053 MPa이며 초기 형상 대비 44.3% 감소하였다. 그리고 X축은 1.163 µm로 59.6% 감소, Y축은 1.581 µm로 41.7% 감소, Z축은 5.782 µm로 55.3% 감소하였다. 리브 최적 설계로 인하여 Z축의 처짐이 감소함에 따라 X, Y축의 변위가 감소되었다. 이는 Z축 변위가 X, Y축의 변위에도 영향을 준다는 것을 보여준다. 그리고 Z축의 강성을 도출한 결과 1967.49 N/µm로 기존 대비 123.84% 증가하였다. Z축 하중을 받는 베드의 리브 구조에 위상 최적화 기법을 적용함으로써, 3축의 변형량이 감소하였다. 따라서 Z축 하중이 형상의 변위에 큰 영향을 미치는 것을 확인하였으므로 압축 시험을 통한 설계 검증이 필요하다.

Fig. 6 
Analysis result of optimized shape

본 실험의 시험편을 제작하기 위해서 사용된 장비는 FDM 방식의 3D 프린터이다. 압축 시험을 통해서 구조물의 강성 변화를 정량적으로 파악하고자 한다면, 소재의 물리적 및 기계적 특성이 일치해야 한다. 하지만 시험편 제작 시 사용된 재료는 실제 구조물의 재료인 FC30이 아니라 ABS 소재가 사용되었다. 이러한 경우 두 소재의 강도, 탄성계수, 파괴 거동 등의 물성치가 상당히 달라 정량적인 결과 값을 얻기 힘들다. ABS 시험편은 FC30과 비교했을 때 보다 낮은 강도와 탄성계수를 가지므로 압축 시험 시 상대적으로 취약하다. 또한 적층 방식으로 인하여 시험편의 내부 구조에 결함이 발생하여 시험에 영향을 미칠 수 있다. 하지만 본 실험의 목적은 위상 최적화 기법을 통해 설계된 리브 구조의 배치에 따라 베드의 강성이 긍정적으로 변화되는 여부를 확인하고 경향성을 파악하는 것이다. 따라서 최적 설계 전과 후의 시험편이 같은 조건으로 제작되고 리브의 구조만 다를 때 압축 시험의 결과 그래프의 하중-변형 곡선을 분석함으로써 정성적인 설계 검증이 가능하다.

압축 시험 시 힘이 작용하지 않는 지점에 하중이 발생하고 시험 중에 리브가 아래로 변형하며 바닥에 닿아 시험 결과에 영향을 미치는 문제가 발생할 수 있다. 이러한 이유로 실제로 하중이 작용하는 지점을 구분하고 리브와 바닥의 간격을 늘려줄 필요가 있었다. 따라서 Fig. 7의 A와 같이 베드에서 하중이 작용하는 안내면에 150 mm의 기둥을 세워 올렸으며, B와 같이 발판의 높이를 80 mm 증가시켰다. 그 후 3D 프린트를 사용하여 실측의 0.033배 크기로 초기 및 최적 설계안 시험편을 제작하였다. 이때 출력 품질을 향상시키기 위해서 밀도는 100%, 레이어 높이는 0.1 mm, 벽 라인은 5개로 하여 Fig. 8과 같이 시험편을 제작하였다.

Fig. 7 
Change in design of test specimen

Fig. 8 
Test specimen produced by 3D printing

실험에 사용된 장비는 SHIMADZU 사의 10 ton 급 압축시험기이며, Fig. 9와 같이 베드의 초기 및 최적 설계안에 대한 압축 실험을 진행하였다. 압축 시험의 속도는 1 mm/min로 운용되었으며, 시험편의 파단이 일어날 때까지 수행하였다. 압축 시험 결과는 Fig. 10의 하중-변위 선도를 통해서 나타내었다. 그리고 복잡한 형상의 베드는 압축시험을 통해 응력 및 X, Y축의 변위를 관찰하기 어려움으로 변형에 가장 큰 영향을 미치는 Z축 변위의 관점에서 분석하였다. 압축 시험 결과 그래프에서 초기 설계안의 최대 하중은 849 N이며, 최적 설계안의 최대 하중은 911 N이므로 최적 설계를 통해 강도가 증가된 것을 확인할 수 있다. 그리고 초기 설계안의 최대 하중을 최적 설계안과 동일한 하중에서 변위를 비교하였을 때, 최적 설계안의 변위는 약 2 mm에서 약 1 mm로 최대 50% 감소되는 것을 볼 수 있다. 또한 실험 그래프의 선형 기울기로부터 강성을 도출한 결과 초기 설계안은 0.733 N/µm이며, 최적 설계안은 0.833 N/µm이므로 최적 설계 후 강성이 증가되는 경향을 보여준다. 따라서 본 실험을 통해 위상 최적화 기법을 적용한 설계안이 초기 설계안에 비해서 강성과 강도가 개선되는 것을 확인할 수 있었다.

Fig. 9 
Compression test of bed

Fig. 10 
Force-displacement curves of bed